Theorem prnmax

Description: A positive real has no largest member. Definition 9-3.1(iii) of Gleason p. 121. (Contributed by NM, 9-Mar-1996) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	prnmax	|- ( ( A e. P. /\ B e. A ) -> E. x e. A B

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1	|- ( y = B -> ( y e. A <-> B e. A ) )
2	1	anbi2d	|- ( y = B -> ( ( A e. P. /\ y e. A ) <-> ( A e. P. /\ B e. A ) ) )
3		breq1	|- ( y = B -> ( y B
4	3	rexbidv	|- ( y = B -> ( E. x e. A y E. x e. A B
5	2 4	imbi12d	|- ( y = B -> ( ( ( A e. P. /\ y e. A ) -> E. x e. A y ( ( A e. P. /\ B e. A ) -> E. x e. A B
6		elnpi	|- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. y e. A ( A. x ( x x e. A ) /\ E. x e. A y
7	6	simprbi	|- ( A e. P. -> A. y e. A ( A. x ( x x e. A ) /\ E. x e. A y
8	7	r19.21bi	|- ( ( A e. P. /\ y e. A ) -> ( A. x ( x x e. A ) /\ E. x e. A y
9	8	simprd	|- ( ( A e. P. /\ y e. A ) -> E. x e. A y
10	5 9	vtoclg	|- ( B e. A -> ( ( A e. P. /\ B e. A ) -> E. x e. A B
11	10	anabsi7	|- ( ( A e. P. /\ B e. A ) -> E. x e. A B