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Theorem prodeq2ii

Description: Equality theorem for product, with the class expressions B and C guarded by _I to be always sets. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017)

Ref Expression
Assertion prodeq2ii 
|- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eluzelz 
 |-  ( n e. ( ZZ>= ` m ) -> n e. ZZ )
2 1 adantl 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> n e. ZZ )
3 nfra1 
 |-  F/ k A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C )
4 rsp 
 |-  ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( k e. A -> ( _I ` B ) = ( _I ` C ) ) )
5 4 adantr 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. A -> ( _I ` B ) = ( _I ` C ) ) )
6 ifeq1 
 |-  ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
7 5 6 syl6 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) ) )
8 iffalse 
 |-  ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = ( _I ` 1 ) )
9 iffalse 
 |-  ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) = ( _I ` 1 ) )
10 8 9 eqtr4d 
 |-  ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
11 7 10 pm2.61d1 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
12 fvif 
 |-  ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) )
13 fvif 
 |-  ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) )
14 11 12 13 3eqtr4g 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) )
15 3 14 mpteq2da 
 |-  ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
16 15 adantr 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
17 16 fveq1d 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
18 17 adantlr 
 |-  ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
19 eqid 
 |-  ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
20 eqid 
 |-  ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) )
21 19 20 fvmptex 
 |-  ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x )
22 eqid 
 |-  ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) )
23 eqid 
 |-  ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) )
24 22 23 fvmptex 
 |-  ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x )
25 18 21 24 3eqtr4g 
 |-  ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
26 2 25 seqfeq 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
27 26 breq1d 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
28 27 anbi2d 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
29 28 exbidv 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
30 29 rexbidva 
 |-  ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
31 30 adantr 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
32 simpr 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> m e. ZZ )
33 15 adantr 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
34 33 fveq1d 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
35 34 21 24 3eqtr4g 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
36 35 adantlr 
 |-  ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
37 32 36 seqfeq 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
38 37 breq1d 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
39 31 38 3anbi23d 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
40 39 rexbidva 
 |-  ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
41 simplr 
 |-  ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN )
42 nnuz 
 |-  NN = ( ZZ>= ` 1 )
43 41 42 eleqtrdi 
 |-  ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
44 f1of 
 |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
45 44 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
46 ffvelcdm 
 |-  ( ( f : ( 1 ... m ) --> A /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
47 45 46 sylancom 
 |-  ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
48 simplll 
 |-  ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) )
49 nfcsb1v 
 |-  F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B )
50 nfcsb1v 
 |-  F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
51 49 50 nfeq 
 |-  F/ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
52 csbeq1a 
 |-  ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) )
53 csbeq1a 
 |-  ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` C ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
54 52 53 eqeq12d 
 |-  ( k = ( f ` x ) -> ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) <-> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
55 51 54 rspc 
 |-  ( ( f ` x ) e. A -> ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
56 47 48 55 sylc 
 |-  ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
57 fvex 
 |-  ( f ` x ) e. _V
58 csbfv2g 
 |-  ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
59 57 58 ax-mp 
 |-  [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
60 csbfv2g 
 |-  ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
61 57 60 ax-mp 
 |-  [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
62 56 59 61 3eqtr3g 
 |-  ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
63 elfznn 
 |-  ( x e. ( 1 ... m ) -> x e. NN )
64 63 adantl 
 |-  ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> x e. NN )
65 fveq2 
 |-  ( n = x -> ( f ` n ) = ( f ` x ) )
66 65 csbeq1d 
 |-  ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
67 eqid 
 |-  ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
68 66 67 fvmpti 
 |-  ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
69 64 68 syl 
 |-  ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
70 65 csbeq1d 
 |-  ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ C = [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
71 eqid 
 |-  ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
72 70 71 fvmpti 
 |-  ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
73 64 72 syl 
 |-  ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
74 62 69 73 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) )
75 43 74 seqfveq 
 |-  ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
76 75 eqeq2d 
 |-  ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
77 76 pm5.32da 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
78 77 exbidv 
 |-  ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
79 78 rexbidva 
 |-  ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
80 40 79 orbi12d 
 |-  ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
81 80 iotabidv 
 |-  ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
82 df-prod 
 |-  prod_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
83 df-prod 
 |-  prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
84 81 82 83 3eqtr4g 
 |-  ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )