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Theorem psdmul

Description: Product rule for power series. An outline is available at https://github.com/icecream17/Stuff/blob/main/math/psdmul.pdf . (Contributed by SN, 25-Apr-2025)

Ref Expression
Hypotheses psdmul.s 
|- S = ( I mPwSer R )
psdmul.b 
|- B = ( Base ` S )
psdmul.p 
|- .+ = ( +g ` S )
psdmul.m 
|- .x. = ( .r ` S )
psdmul.i 
|- ( ph -> I e. V )
psdmul.r 
|- ( ph -> R e. CRing )
psdmul.x 
|- ( ph -> X e. I )
psdmul.f 
|- ( ph -> F e. B )
psdmul.g 
|- ( ph -> G e. B )
Assertion psdmul 
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( F .x. G ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psdmul.s 
 |-  S = ( I mPwSer R )
2 psdmul.b 
 |-  B = ( Base ` S )
3 psdmul.p 
 |-  .+ = ( +g ` S )
4 psdmul.m 
 |-  .x. = ( .r ` S )
5 psdmul.i 
 |-  ( ph -> I e. V )
6 psdmul.r 
 |-  ( ph -> R e. CRing )
7 psdmul.x 
 |-  ( ph -> X e. I )
8 psdmul.f 
 |-  ( ph -> F e. B )
9 psdmul.g 
 |-  ( ph -> G e. B )
10 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
11 eqid 
 |-  ( +g ` R ) = ( +g ` R )
12 6 crngringd 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
13 12 ringcmnd 
 |-  ( ph -> R e. CMnd )
14 13 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R e. CMnd )
15 simpr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
16 eqid 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
17 16 psrbagsn 
 |-  ( I e. V -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
18 5 17 syl 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
19 18 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
20 16 psrbagaddcl 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
21 15 19 20 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
22 16 psrbaglefi 
 |-  ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. Fin )
23 21 22 syl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. Fin )
24 eqid 
 |-  ( .g ` R ) = ( .g ` R )
25 6 crnggrpd 
 |-  ( ph -> R e. Grp )
26 25 grpmndd 
 |-  ( ph -> R e. Mnd )
27 26 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> R e. Mnd )
28 16 psrbagf 
 |-  ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> d : I --> NN0 )
29 28 adantl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d : I --> NN0 )
30 7 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I )
31 29 30 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. NN0 )
32 peano2nn0 
 |-  ( ( d ` X ) e. NN0 -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 )
33 31 32 syl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 )
34 33 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 )
35 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
36 12 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> R e. Ring )
37 1 10 16 2 8 psrelbas 
 |-  ( ph -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
38 37 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
39 elrabi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
40 39 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
41 38 40 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) )
42 1 10 16 2 9 psrelbas 
 |-  ( ph -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
43 42 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
44 eqid 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) }
45 16 44 psrbagconcl 
 |-  ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
46 21 45 sylan 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
47 elrabi 
 |-  ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
48 46 47 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
49 43 48 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) )
50 10 35 36 41 49 ringcld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) )
51 10 24 27 34 50 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
52 disjdifr 
 |-  ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = (/)
53 52 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = (/) )
54 1nn0 
 |-  1 e. NN0
55 0nn0 
 |-  0 e. NN0
56 54 55 ifcli 
 |-  if ( i = X , 1 , 0 ) e. NN0
57 56 nn0ge0i 
 |-  0 <_ if ( i = X , 1 , 0 )
58 29 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
59 58 nn0red 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. RR )
60 56 nn0rei 
 |-  if ( i = X , 1 , 0 ) e. RR
61 60 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. RR )
62 59 61 addge01d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( 0 <_ if ( i = X , 1 , 0 ) <-> ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
63 57 62 mpbii 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
64 63 ralrimiva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> A. i e. I ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
65 29 ffnd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d Fn I )
66 54 55 ifcli 
 |-  if ( y = X , 1 , 0 ) e. NN0
67 66 elexi 
 |-  if ( y = X , 1 , 0 ) e. _V
68 eqid 
 |-  ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) )
69 67 68 fnmpti 
 |-  ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I
70 69 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
71 5 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> I e. V )
72 inidm 
 |-  ( I i^i I ) = I
73 65 70 71 71 72 offn 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
74 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
75 eqeq1 
 |-  ( y = i -> ( y = X <-> i = X ) )
76 75 ifbid 
 |-  ( y = i -> if ( y = X , 1 , 0 ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
77 56 elexi 
 |-  if ( i = X , 1 , 0 ) e. _V
78 76 68 77 fvmpt 
 |-  ( i e. I -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
79 78 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
80 65 70 71 71 72 74 79 ofval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
81 65 73 71 71 72 74 80 ofrfval 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
82 64 81 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
83 82 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
84 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> I e. V )
85 16 psrbagf 
 |-  ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> k : I --> NN0 )
86 85 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> k : I --> NN0 )
87 29 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d : I --> NN0 )
88 16 psrbagf 
 |-  ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
89 21 88 syl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
90 89 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
91 nn0re 
 |-  ( q e. NN0 -> q e. RR )
92 nn0re 
 |-  ( r e. NN0 -> r e. RR )
93 nn0re 
 |-  ( s e. NN0 -> s e. RR )
94 letr 
 |-  ( ( q e. RR /\ r e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( q <_ r /\ r <_ s ) -> q <_ s ) )
95 91 92 93 94 syl3an 
 |-  ( ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( q <_ r /\ r <_ s ) -> q <_ s ) )
96 95 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) ) -> ( ( q <_ r /\ r <_ s ) -> q <_ s ) )
97 84 86 87 90 96 caoftrn 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( k oR <_ d /\ d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) -> k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
98 83 97 mpan2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( k oR <_ d -> k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
99 98 ss2rabdv 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
100 undifr 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } <-> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
101 99 100 sylib 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
102 101 eqcomd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } = ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
103 10 11 14 23 51 53 102 gsummptfidmsplit 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
104 eqid 
 |-  ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
105 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
106 105 rabex 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V
107 106 rabex 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. _V
108 107 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. _V )
109 ovex 
 |-  ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. _V
110 eqid 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) )
111 109 110 fnmpti 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) }
112 111 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
113 fvexd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
114 112 23 113 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
115 10 104 24 108 50 114 14 33 gsummulg 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
116 difrab 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) }
117 116 eleq2i 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) <-> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) } )
118 breq1 
 |-  ( k = u -> ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
119 breq1 
 |-  ( k = u -> ( k oR <_ d <-> u oR <_ d ) )
120 119 notbid 
 |-  ( k = u -> ( -. k oR <_ d <-> -. u oR <_ d ) )
121 118 120 anbi12d 
 |-  ( k = u -> ( ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) <-> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) )
122 121 elrab 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) } <-> ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) )
123 16 psrbagf 
 |-  ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> u : I --> NN0 )
124 123 ffnd 
 |-  ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> u Fn I )
125 124 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> u Fn I )
126 73 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
127 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> I e. V )
128 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
129 65 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d Fn I )
130 66 a1i 
 |-  ( y e. I -> if ( y = X , 1 , 0 ) e. NN0 )
131 68 130 fmpti 
 |-  ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0
132 131 a1i 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
133 132 ffnd 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
134 133 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
135 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
136 78 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
137 129 134 127 127 72 135 136 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
138 125 126 127 127 72 128 137 ofrfval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
139 125 129 127 127 72 128 135 ofrfval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u oR <_ d <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
140 139 notbid 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( -. u oR <_ d <-> -. A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
141 rexnal 
 |-  ( E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) <-> -. A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) )
142 140 141 bitr4di 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( -. u oR <_ d <-> E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
143 138 142 anbi12d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) <-> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
144 31 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) e. NN0 )
145 123 adantl 
 |-  ( ( ph /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> u : I --> NN0 )
146 7 adantr 
 |-  ( ( ph /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I )
147 145 146 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
148 147 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
149 148 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
150 nn0nlt0 
 |-  ( ( d ` X ) e. NN0 -> -. ( d ` X ) < 0 )
151 144 150 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( d ` X ) < 0 )
152 29 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d : I --> NN0 )
153 152 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
154 153 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. CC )
155 154 addridd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( d ` i ) + 0 ) = ( d ` i ) )
156 155 breq2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) <-> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
157 156 biimpd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
158 ifnefalse 
 |-  ( i =/= X -> if ( i = X , 1 , 0 ) = 0 )
159 158 oveq2d 
 |-  ( i =/= X -> ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` i ) + 0 ) )
160 159 breq2d 
 |-  ( i =/= X -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) <-> ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) ) )
161 160 imbi1d 
 |-  ( i =/= X -> ( ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) <-> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
162 157 161 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( i =/= X -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
163 162 imp 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
164 163 impancom 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( i =/= X -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
165 164 necon1bd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> i = X ) )
166 165 ancrd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
167 166 ex 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) )
168 167 ralimdva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) )
169 168 anim1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
170 169 imp 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
171 rexim 
 |-  ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
172 171 imp 
 |-  ( ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
173 fveq2 
 |-  ( i = X -> ( u ` i ) = ( u ` X ) )
174 fveq2 
 |-  ( i = X -> ( d ` i ) = ( d ` X ) )
175 173 174 breq12d 
 |-  ( i = X -> ( ( u ` i ) <_ ( d ` i ) <-> ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) )
176 175 notbid 
 |-  ( i = X -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) <-> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) )
177 176 ceqsrexbv 
 |-  ( E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) <-> ( X e. I /\ -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) )
178 177 simprbi 
 |-  ( E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) )
179 172 178 syl 
 |-  ( ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) )
180 31 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. NN0 )
181 180 nn0red 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. RR )
182 148 nn0red 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u ` X ) e. RR )
183 181 182 ltnled 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( d ` X ) < ( u ` X ) <-> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) )
184 183 biimpar 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) -> ( d ` X ) < ( u ` X ) )
185 179 184 sylan2 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) < ( u ` X ) )
186 170 185 syldan 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) < ( u ` X ) )
187 breq2 
 |-  ( ( u ` X ) = 0 -> ( ( d ` X ) < ( u ` X ) <-> ( d ` X ) < 0 ) )
188 186 187 syl5ibcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( u ` X ) = 0 -> ( d ` X ) < 0 ) )
189 151 188 mtod 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( u ` X ) = 0 )
190 189 neqned 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) =/= 0 )
191 elnnne0 
 |-  ( ( u ` X ) e. NN <-> ( ( u ` X ) e. NN0 /\ ( u ` X ) =/= 0 ) )
192 149 190 191 sylanbrc 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) e. NN )
193 elfzo0 
 |-  ( ( d ` X ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) <-> ( ( d ` X ) e. NN0 /\ ( u ` X ) e. NN /\ ( d ` X ) < ( u ` X ) ) )
194 144 192 186 193 syl3anbrc 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) )
195 fzostep1 
 |-  ( ( d ` X ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) \/ ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) )
196 194 195 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) \/ ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) )
197 149 nn0red 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) e. RR )
198 33 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 )
199 198 nn0red 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. RR )
200 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I )
201 iftrue 
 |-  ( i = X -> if ( i = X , 1 , 0 ) = 1 )
202 174 201 oveq12d 
 |-  ( i = X -> ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` X ) + 1 ) )
203 173 202 breq12d 
 |-  ( i = X -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) <-> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) )
204 203 rspcv 
 |-  ( X e. I -> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) )
205 200 204 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) )
206 205 imp 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) )
207 206 adantrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) )
208 197 199 207 lensymd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( ( d ` X ) + 1 ) < ( u ` X ) )
209 208 intn3an3d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 /\ ( u ` X ) e. NN /\ ( ( d ` X ) + 1 ) < ( u ` X ) ) )
210 elfzo0 
 |-  ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) <-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 /\ ( u ` X ) e. NN /\ ( ( d ` X ) + 1 ) < ( u ` X ) ) )
211 209 210 sylnibr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) )
212 196 211 orcnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
213 143 212 sylbida 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
214 213 anasss 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
215 122 214 sylan2b 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
216 117 215 sylan2b 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
217 216 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
218 217 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
219 218 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
220 16 psrbaglefi 
 |-  ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. Fin )
221 220 adantl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. Fin )
222 26 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> R e. Mnd )
223 33 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 )
224 12 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> R e. Ring )
225 elrabi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
226 37 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
227 226 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) )
228 225 227 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) )
229 42 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
230 29 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d : I --> NN0 )
231 230 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
232 231 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. CC )
233 225 123 syl 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> u : I --> NN0 )
234 233 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> u : I --> NN0 )
235 234 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 )
236 235 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC )
237 56 nn0cni 
 |-  if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC
238 237 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC )
239 232 236 238 subadd23d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` i ) + ( if ( i = X , 1 , 0 ) - ( u ` i ) ) ) )
240 232 238 236 addsubassd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) = ( ( d ` i ) + ( if ( i = X , 1 , 0 ) - ( u ` i ) ) ) )
241 239 240 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) )
242 241 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) )
243 eqid 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d }
244 16 243 psrbagconcl 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
245 elrabi 
 |-  ( ( d oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
246 244 245 syl 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
247 246 adantll 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
248 16 psrbagf 
 |-  ( ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( d oF - u ) : I --> NN0 )
249 247 248 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) : I --> NN0 )
250 249 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) Fn I )
251 69 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
252 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> I e. V )
253 230 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d Fn I )
254 234 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> u Fn I )
255 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
256 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
257 253 254 252 252 72 255 256 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF - u ) ` i ) = ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) )
258 78 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
259 250 251 252 252 72 257 258 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
260 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
261 18 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
262 260 261 20 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
263 262 88 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
264 263 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
265 253 251 252 252 72 255 258 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
266 264 254 252 252 72 265 256 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) )
267 242 259 266 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) )
268 16 psrbagaddcl 
 |-  ( ( ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
269 247 261 268 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
270 267 269 eqeltrrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
271 229 270 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) )
272 10 35 224 228 271 ringcld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) )
273 10 24 222 223 272 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
274 disjdifr 
 |-  ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = (/)
275 274 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = (/) )
276 simpl 
 |-  ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) -> k oR <_ d )
277 276 a1i 
 |-  ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) -> k oR <_ d ) )
278 277 ss2rabi 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d }
279 278 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
280 undifr 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } <-> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
281 279 280 sylib 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
282 281 eqcomd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } = ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) )
283 10 11 14 221 273 275 282 gsummptfidmsplit 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
284 eldifi 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
285 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> X e. I )
286 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( d ` X ) = ( d ` X ) )
287 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( u ` X ) = ( u ` X ) )
288 253 254 252 252 72 286 287 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) )
289 285 288 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) )
290 284 289 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) )
291 290 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) = ( ( u ` X ) + ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) )
292 234 285 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
293 284 292 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
294 293 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( u ` X ) e. CC )
295 31 nn0cnd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. CC )
296 295 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( d ` X ) e. CC )
297 294 296 pncan3d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) + ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) = ( d ` X ) )
298 291 297 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) = ( d ` X ) )
299 298 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) + 1 ) = ( ( d ` X ) + 1 ) )
300 249 285 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) e. NN0 )
301 284 300 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) e. NN0 )
302 301 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) e. CC )
303 1cnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> 1 e. CC )
304 294 302 303 addassd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) + 1 ) = ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) )
305 299 304 eqtr3d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) )
306 305 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
307 26 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> R e. Mnd )
308 peano2nn0 
 |-  ( ( ( d oF - u ) ` X ) e. NN0 -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 )
309 300 308 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 )
310 284 309 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 )
311 284 272 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) )
312 10 24 11 mulgnn0dir 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ ( ( u ` X ) e. NN0 /\ ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 /\ ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
313 307 293 310 311 312 syl13anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
314 306 313 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
315 314 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
316 315 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
317 difssd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
318 221 317 ssfid 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) e. Fin )
319 10 24 222 292 272 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
320 284 319 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
321 10 24 222 309 272 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
322 284 321 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
323 eqid 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
324 eqid 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
325 10 11 14 318 320 322 323 324 gsummptfidmadd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
326 316 325 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
327 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> X e. I )
328 65 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> d Fn I )
329 elrabi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
330 329 124 syl 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> u Fn I )
331 330 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> u Fn I )
332 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> I e. V )
333 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) /\ X e. I ) -> ( d ` X ) = ( d ` X ) )
334 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) /\ X e. I ) -> ( u ` X ) = ( u ` X ) )
335 328 331 332 332 72 333 334 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) /\ X e. I ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) )
336 327 335 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) )
337 fveq1 
 |-  ( k = u -> ( k ` X ) = ( u ` X ) )
338 337 eqeq1d 
 |-  ( k = u -> ( ( k ` X ) = 0 <-> ( u ` X ) = 0 ) )
339 119 338 anbi12d 
 |-  ( k = u -> ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) )
340 339 elrab 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } <-> ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) )
341 340 simprbi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) )
342 341 simprd 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> ( u ` X ) = 0 )
343 342 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( u ` X ) = 0 )
344 343 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) = ( ( d ` X ) - 0 ) )
345 31 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( d ` X ) e. NN0 )
346 345 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( d ` X ) e. CC )
347 346 subid1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d ` X ) - 0 ) = ( d ` X ) )
348 336 344 347 3eqtrrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( d ` X ) = ( ( d oF - u ) ` X ) )
349 348 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) )
350 349 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
351 350 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
352 351 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
353 326 352 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
354 25 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R e. Grp )
355 106 rabex 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. _V
356 355 difexi 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) e. _V
357 356 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) e. _V )
358 320 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) --> ( Base ` R ) )
359 ovex 
 |-  ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. _V
360 359 323 fnmpti 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } )
361 360 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) )
362 361 318 113 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
363 10 104 14 357 358 362 gsumcl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
364 322 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) --> ( Base ` R ) )
365 ovex 
 |-  ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. _V
366 365 324 fnmpti 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } )
367 366 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) )
368 367 318 113 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
369 10 104 14 357 364 368 gsumcl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
370 106 rabex 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } e. _V
371 370 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } e. _V )
372 278 sseli 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
373 372 321 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
374 373 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } --> ( Base ` R ) )
375 eqid 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
376 365 375 fnmpti 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) }
377 376 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } )
378 221 279 ssfid 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } e. Fin )
379 377 378 113 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
380 10 104 14 371 374 379 gsumcl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
381 10 11 354 363 369 380 grpassd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) )
382 283 353 381 3eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) )
383 219 382 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
384 103 115 383 3eqtr3d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
385 8 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> F e. B )
386 9 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> G e. B )
387 1 2 35 4 16 385 386 21 psrmulval 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
388 387 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
389 107 difexi 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) e. _V
390 389 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) e. _V )
391 eldifi 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
392 39 123 syl 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> u : I --> NN0 )
393 392 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> u : I --> NN0 )
394 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> X e. I )
395 393 394 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
396 10 24 27 395 50 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
397 391 396 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
398 397 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) --> ( Base ` R ) )
399 eqid 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
400 359 399 fnmpti 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
401 400 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
402 difssd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
403 23 402 ssfid 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) e. Fin )
404 401 403 113 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
405 10 104 14 390 398 404 gsumcl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
406 10 11 354 369 380 grpcld 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
407 10 11 354 405 363 406 grpassd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
408 384 388 407 3eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) )
409 408 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
410 1 2 4 12 8 9 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( F .x. G ) e. B )
411 1 2 16 5 6 7 410 psdval 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( F .x. G ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) )
412 25 grpmgmd 
 |-  ( ph -> R e. Mgm )
413 1 2 5 412 7 8 psdcl 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B )
414 1 2 4 12 413 9 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) e. B )
415 1 2 5 412 7 9 psdcl 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) e. B )
416 1 2 4 12 8 415 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) e. B )
417 1 2 11 3 414 416 psradd 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) oF ( +g ` R ) ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) )
418 1 10 16 2 414 psrelbas 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
419 418 ffnd 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
420 1 10 16 2 416 psrelbas 
 |-  ( ph -> ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
421 420 ffnd 
 |-  ( ph -> ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
422 106 a1i 
 |-  ( ph -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V )
423 inidm 
 |-  ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } i^i { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
424 413 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B )
425 1 2 35 4 16 424 386 15 psrmulval 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) ` d ) = ( R gsum ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) ) )
426 355 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. _V )
427 12 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> R e. Ring )
428 elrabi 
 |-  ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
429 1 10 16 2 413 psrelbas 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
430 429 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
431 430 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) e. ( Base ` R ) )
432 428 431 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) e. ( Base ` R ) )
433 42 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
434 16 243 psrbagconcl 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - b ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
435 434 adantll 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - b ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
436 elrabi 
 |-  ( ( d oF - b ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> ( d oF - b ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
437 435 436 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - b ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
438 433 437 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( G ` ( d oF - b ) ) e. ( Base ` R ) )
439 10 35 427 432 438 ringcld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) e. ( Base ` R ) )
440 439 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) : { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } --> ( Base ` R ) )
441 ovex 
 |-  ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) e. _V
442 eqid 
 |-  ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) = ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) )
443 441 442 fnmpti 
 |-  ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d }
444 443 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
445 444 221 113 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
446 eqid 
 |-  ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
447 df-of 
 |-  oF + = ( m e. _V , n e. _V |-> ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) )
448 vex 
 |-  u e. _V
449 448 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> u e. _V )
450 ssv 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ _V
451 450 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ _V )
452 ssv 
 |-  { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } C_ _V
453 452 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } C_ _V )
454 447 449 451 453 elimampo 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) <-> E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) )
455 454 biimpa 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) )
456 elrabi 
 |-  ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
457 16 psrbagf 
 |-  ( m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> m : I --> NN0 )
458 457 ffund 
 |-  ( m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> Fun m )
459 456 458 syl 
 |-  ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> Fun m )
460 459 funfnd 
 |-  ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> m Fn dom m )
461 460 ad2antrl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> m Fn dom m )
462 velsn 
 |-  ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } <-> n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) )
463 funmpt 
 |-  Fun ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) )
464 funeq 
 |-  ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> ( Fun n <-> Fun ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
465 463 464 mpbiri 
 |-  ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> Fun n )
466 465 funfnd 
 |-  ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> n Fn dom n )
467 462 466 sylbi 
 |-  ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> n Fn dom n )
468 467 ad2antll 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> n Fn dom n )
469 vex 
 |-  m e. _V
470 469 dmex 
 |-  dom m e. _V
471 470 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> dom m e. _V )
472 vex 
 |-  n e. _V
473 472 dmex 
 |-  dom n e. _V
474 473 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> dom n e. _V )
475 eqid 
 |-  ( dom m i^i dom n ) = ( dom m i^i dom n )
476 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ o e. dom m ) -> ( m ` o ) = ( m ` o ) )
477 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ o e. dom n ) -> ( n ` o ) = ( n ` o ) )
478 461 468 471 474 475 476 477 offval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( m oF + n ) = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) )
479 478 eqeq2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) )
480 elsni 
 |-  ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) )
481 480 oveq2d 
 |-  ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> ( m oF + n ) = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
482 481 eqeq2d 
 |-  ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
483 482 ad2antll 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
484 5 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> I e. V )
485 456 457 syl 
 |-  ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> m : I --> NN0 )
486 485 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m : I --> NN0 )
487 131 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
488 nn0cn 
 |-  ( q e. NN0 -> q e. CC )
489 nn0cn 
 |-  ( r e. NN0 -> r e. CC )
490 nn0cn 
 |-  ( s e. NN0 -> s e. CC )
491 addsubass 
 |-  ( ( q e. CC /\ r e. CC /\ s e. CC ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) )
492 488 489 490 491 syl3an 
 |-  ( ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) )
493 492 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) )
494 484 486 487 487 493 caofass 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( m oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
495 simpr 
 |-  ( ( ph /\ i e. I ) -> i e. I )
496 56 a1i 
 |-  ( ( ph /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. NN0 )
497 68 76 495 496 fvmptd3 
 |-  ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
498 133 133 5 5 72 497 497 offval 
 |-  ( ph -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
499 498 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( m oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
500 499 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
501 237 subidi 
 |-  ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) = 0
502 501 mpteq2i 
 |-  ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> 0 )
503 fconstmpt 
 |-  ( I X. { 0 } ) = ( i e. I |-> 0 )
504 502 503 eqtr4i 
 |-  ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( I X. { 0 } )
505 504 oveq2i 
 |-  ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( m oF + ( I X. { 0 } ) )
506 0zd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> 0 e. ZZ )
507 488 addridd 
 |-  ( q e. NN0 -> ( q + 0 ) = q )
508 507 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ q e. NN0 ) -> ( q + 0 ) = q )
509 484 486 506 508 caofid0r 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( I X. { 0 } ) ) = m )
510 505 509 eqtrid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = m )
511 494 500 510 3eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = m )
512 simpr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
513 511 512 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
514 oveq1 
 |-  ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
515 514 eleq1d 
 |-  ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
516 513 515 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
517 516 adantrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
518 483 517 sylbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
519 479 518 sylbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
520 519 rexlimdvva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
521 455 520 mpd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
522 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
523 5 mptexd 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. _V )
524 elsng 
 |-  ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. _V -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } <-> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
525 523 524 syl 
 |-  ( ph -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } <-> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
526 68 525 mpbiri 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } )
527 526 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } )
528 447 mpofun 
 |-  Fun oF +
529 528 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> Fun oF + )
530 xpss 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) C_ ( _V X. _V )
531 470 inex1 
 |-  ( dom m i^i dom n ) e. _V
532 531 mptex 
 |-  ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) e. _V
533 532 rgen2w 
 |-  A. m e. _V A. n e. _V ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) e. _V
534 447 dmmpoga 
 |-  ( A. m e. _V A. n e. _V ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) e. _V -> dom oF + = ( _V X. _V ) )
535 533 534 mp1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> dom oF + = ( _V X. _V ) )
536 530 535 sseqtrrid 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) C_ dom oF + )
537 522 527 529 536 elovimad 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) )
538 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> I e. V )
539 elrabi 
 |-  ( v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> v e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
540 16 psrbagf 
 |-  ( v e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> v : I --> NN0 )
541 539 540 syl 
 |-  ( v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> v : I --> NN0 )
542 541 ad2antll 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> v : I --> NN0 )
543 131 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
544 492 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) )
545 538 542 543 543 544 caofass 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( v oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
546 133 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
547 78 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
548 546 546 538 538 72 547 547 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
549 548 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( v oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
550 504 oveq2i 
 |-  ( v oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( v oF + ( I X. { 0 } ) )
551 0zd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> 0 e. ZZ )
552 nn0cn 
 |-  ( p e. NN0 -> p e. CC )
553 552 addridd 
 |-  ( p e. NN0 -> ( p + 0 ) = p )
554 553 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ p e. NN0 ) -> ( p + 0 ) = p )
555 538 542 551 554 caofid0r 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v oF + ( I X. { 0 } ) ) = v )
556 550 555 eqtrid 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = v )
557 545 549 556 3eqtrrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> v = ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
558 oveq1 
 |-  ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
559 558 eqeq2d 
 |-  ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> v = ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
560 557 559 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
561 18 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
562 16 psrbagaddcl 
 |-  ( ( m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
563 456 561 562 syl2an2 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
564 16 psrbagf 
 |-  ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
565 563 564 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
566 565 adantrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
567 feq1 
 |-  ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u : I --> NN0 <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 ) )
568 566 567 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u : I --> NN0 ) )
569 483 568 sylbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> u : I --> NN0 ) )
570 479 569 sylbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u : I --> NN0 ) )
571 570 rexlimdvva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u : I --> NN0 ) )
572 455 571 mpd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u : I --> NN0 )
573 572 adantrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u : I --> NN0 )
574 573 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 )
575 574 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC )
576 237 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC )
577 575 576 npcand 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( u ` i ) )
578 577 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) )
579 573 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u Fn I )
580 579 546 538 538 72 offn 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
581 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
582 579 546 538 538 72 581 547 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
583 580 546 538 538 72 582 547 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
584 573 feqmptd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) )
585 578 583 584 3eqtr4rd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
586 oveq1 
 |-  ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
587 586 eqeq2d 
 |-  ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
588 585 587 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
589 560 588 impbid 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
590 446 521 537 589 f1o2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) : ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -1-1-onto-> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
591 10 104 14 426 440 445 590 gsumf1o 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) ) = ( R gsum ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) )
592 553 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ p e. NN0 ) -> ( p + 0 ) = p )
593 484 486 506 592 caofid0r 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( I X. { 0 } ) ) = m )
594 505 593 eqtrid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = m )
595 494 500 594 3eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = m )
596 595 512 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
597 596 515 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
598 597 adantrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
599 483 598 sylbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
600 479 599 sylbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
601 600 rexlimdvva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
602 455 601 mpd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
603 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
604 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) = ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) )
605 fveq2 
 |-  ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) = ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
606 oveq2 
 |-  ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( d oF - b ) = ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
607 606 fveq2d 
 |-  ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( G ` ( d oF - b ) ) = ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) )
608 605 607 oveq12d 
 |-  ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) )
609 602 603 604 608 fmptco 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) )
610 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> I e. V )
611 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> R e. CRing )
612 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> X e. I )
613 8 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> F e. B )
614 elrabi 
 |-  ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
615 602 614 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
616 1 2 16 610 611 612 613 615 psdcoef 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) )
617 572 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u Fn I )
618 131 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
619 618 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
620 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ X e. I ) -> ( u ` X ) = ( u ` X ) )
621 iftrue 
 |-  ( y = X -> if ( y = X , 1 , 0 ) = 1 )
622 1ex 
 |-  1 e. _V
623 621 68 622 fvmpt 
 |-  ( X e. I -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` X ) = 1 )
624 623 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ X e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` X ) = 1 )
625 617 619 610 610 72 620 624 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ X e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( u ` X ) - 1 ) )
626 612 625 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( u ` X ) - 1 ) )
627 626 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) = ( ( ( u ` X ) - 1 ) + 1 ) )
628 nn0sscn 
 |-  NN0 C_ CC
629 628 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> NN0 C_ CC )
630 572 629 fssd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u : I --> CC )
631 630 612 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u ` X ) e. CC )
632 1cnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> 1 e. CC )
633 631 632 npcand 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) - 1 ) + 1 ) = ( u ` X ) )
634 627 633 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
635 617 619 610 610 72 offn 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
636 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
637 78 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
638 617 619 610 610 72 636 637 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
639 572 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 )
640 639 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC )
641 237 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC )
642 640 641 npcand 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( u ` i ) )
643 610 635 619 617 638 637 642 offveq 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = u )
644 643 fveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( F ` ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( F ` u ) )
645 634 644 oveq12d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) )
646 616 645 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) )
647 28 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> d : I --> NN0 )
648 647 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
649 648 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. CC )
650 649 640 641 subsub3d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( d ` i ) - ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) )
651 650 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( i e. I |-> ( ( d ` i ) - ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) )
652 65 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> d Fn I )
653 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
654 652 635 610 610 72 653 638 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( d ` i ) - ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
655 652 619 610 610 72 offn 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
656 652 619 610 610 72 653 637 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
657 655 617 610 610 72 656 636 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) )
658 651 654 657 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) )
659 658 fveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) )
660 646 659 oveq12d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) )
661 12 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> R e. Ring )
662 572 612 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
663 662 nn0zd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u ` X ) e. ZZ )
664 37 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
665 simpllr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
666 18 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
667 simprl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
668 eqid 
 |-  { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } = { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) }
669 16 243 668 psrbagleadd1 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
670 665 666 667 669 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
671 eleq1 
 |-  ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) )
672 670 671 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) )
673 483 672 sylbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) )
674 479 673 sylbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) )
675 674 rexlimdvva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) )
676 455 675 mpd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
677 elrabi 
 |-  ( u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
678 676 677 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
679 664 678 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) )
680 42 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
681 21 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
682 16 668 psrbagconcl 
 |-  ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
683 681 676 682 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
684 elrabi 
 |-  ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
685 683 684 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
686 680 685 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) )
687 10 24 35 mulgass2 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( ( u ` X ) e. ZZ /\ ( F ` u ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
688 661 663 679 686 687 syl13anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
689 660 688 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
690 689 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
691 609 690 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
692 691 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
693 snex 
 |-  { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } e. _V
694 355 693 xpex 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) e. _V
695 694 funimaex 
 |-  ( Fun oF + -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) e. _V )
696 528 695 mp1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) e. _V )
697 26 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> R e. Mnd )
698 10 35 661 679 686 ringcld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) )
699 10 24 697 662 698 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
700 eqid 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
701 359 700 fnmpti 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) }
702 701 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
703 702 23 113 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
704 460 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> m Fn dom m )
705 467 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> n Fn dom n )
706 470 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> dom m e. _V )
707 473 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> dom n e. _V )
708 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) /\ o e. dom m ) -> ( m ` o ) = ( m ` o ) )
709 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) /\ o e. dom n ) -> ( n ` o ) = ( n ` o ) )
710 704 705 706 707 475 708 709 offval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> ( m oF + n ) = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) )
711 710 eqeq2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) )
712 711 rexbidva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( m oF + n ) <-> E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) )
713 18 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
714 oveq2 
 |-  ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> ( m oF + n ) = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
715 714 eqeq2d 
 |-  ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
716 715 rexsng 
 |-  ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
717 713 716 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
718 712 717 bitr3d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
719 718 rexbidva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) <-> E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
720 breq1 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
721 breq1 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k oR <_ d <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d ) )
722 fveq1 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k ` X ) = ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) )
723 722 eqeq1d 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( k ` X ) = 0 <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) )
724 721 723 anbi12d 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) )
725 724 notbid 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) )
726 720 725 anbi12d 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) ) )
727 456 713 562 syl2an2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
728 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
729 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
730 16 243 44 psrbagleadd1 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
731 728 713 729 730 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
732 720 elrab 
 |-  ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
733 732 simprbi 
 |-  ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
734 731 733 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
735 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> X e. I )
736 485 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m : I --> NN0 )
737 736 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m Fn I )
738 133 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
739 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> I e. V )
740 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( m ` X ) = ( m ` X ) )
741 623 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` X ) = 1 )
742 737 738 739 739 72 740 741 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( m ` X ) + 1 ) )
743 735 742 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( m ` X ) + 1 ) )
744 736 735 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m ` X ) e. NN0 )
745 nn0p1nn 
 |-  ( ( m ` X ) e. NN0 -> ( ( m ` X ) + 1 ) e. NN )
746 744 745 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m ` X ) + 1 ) e. NN )
747 743 746 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) e. NN )
748 747 nnne0d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) =/= 0 )
749 748 neneqd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 )
750 749 intnand 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) )
751 734 750 jca 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) )
752 726 727 751 elrabd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } )
753 eleq1 
 |-  ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) )
754 752 753 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) )
755 breq1 
 |-  ( k = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k oR <_ d <-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d ) )
756 elrabi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
757 756 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
758 131 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
759 756 123 syl 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u : I --> NN0 )
760 759 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u : I --> NN0 )
761 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> X e. I )
762 760 761 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
763 339 notbid 
 |-  ( k = u -> ( -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) )
764 118 763 anbi12d 
 |-  ( k = u -> ( ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) <-> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) ) )
765 764 elrab 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } <-> ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) ) )
766 765 simprbi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) )
767 766 simpld 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
768 767 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
769 768 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
770 756 124 syl 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u Fn I )
771 770 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u Fn I )
772 771 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> u Fn I )
773 21 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
774 88 ffnd 
 |-  ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
775 773 774 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
776 775 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
777 5 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> I e. V )
778 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
779 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) )
780 772 776 777 777 72 778 779 ofrfval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) ) )
781 769 780 mpbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) )
782 781 r19.21bi 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) )
783 782 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) )
784 65 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) -> d Fn I )
785 69 a1i 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
786 5 ad4antr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) -> I e. V )
787 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
788 78 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
789 784 785 786 786 72 787 788 ofval 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
790 789 an32s 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
791 158 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) = 0 )
792 791 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` i ) + 0 ) )
793 29 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> d : I --> NN0 )
794 793 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
795 794 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
796 795 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( d ` i ) e. CC )
797 796 addridd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d ` i ) + 0 ) = ( d ` i ) )
798 790 792 797 3eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( d ` i ) )
799 783 798 breqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) )
800 simpr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u ` X ) = 0 )
801 29 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> d : I --> NN0 )
802 801 761 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( d ` X ) e. NN0 )
803 802 nn0ge0d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> 0 <_ ( d ` X ) )
804 803 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> 0 <_ ( d ` X ) )
805 800 804 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u ` X ) <_ ( d ` X ) )
806 805 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` X ) <_ ( d ` X ) )
807 175 799 806 pm2.61ne 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) )
808 807 ralrimiva 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) )
809 65 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> d Fn I )
810 809 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> d Fn I )
811 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
812 772 810 777 777 72 778 811 ofrfval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u oR <_ d <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
813 808 812 mpbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> u oR <_ d )
814 813 ex 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u ` X ) = 0 -> u oR <_ d ) )
815 766 simprd 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) )
816 815 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) )
817 imnan 
 |-  ( ( u oR <_ d -> -. ( u ` X ) = 0 ) <-> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) )
818 816 817 sylibr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oR <_ d -> -. ( u ` X ) = 0 ) )
819 818 con2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u ` X ) = 0 -> -. u oR <_ d ) )
820 814 819 pm2.65d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> -. ( u ` X ) = 0 )
821 820 neqned 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u ` X ) =/= 0 )
822 762 821 191 sylanbrc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u ` X ) e. NN )
823 822 nnge1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> 1 <_ ( u ` X ) )
824 823 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> 1 <_ ( u ` X ) )
825 173 breq2d 
 |-  ( i = X -> ( 1 <_ ( u ` i ) <-> 1 <_ ( u ` X ) ) )
826 824 825 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( i = X -> 1 <_ ( u ` i ) ) )
827 826 imp 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) /\ i = X ) -> 1 <_ ( u ` i ) )
828 760 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 )
829 828 nn0ge0d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> 0 <_ ( u ` i ) )
830 829 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) /\ -. i = X ) -> 0 <_ ( u ` i ) )
831 827 830 ifpimpda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if- ( i = X , 1 <_ ( u ` i ) , 0 <_ ( u ` i ) ) )
832 brif1 
 |-  ( if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) <-> if- ( i = X , 1 <_ ( u ` i ) , 0 <_ ( u ` i ) ) )
833 831 832 sylibr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) )
834 833 ralrimiva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> A. i e. I if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) )
835 69 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
836 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> I e. V )
837 78 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
838 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
839 835 771 836 836 72 837 838 ofrfval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oR <_ u <-> A. i e. I if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) ) )
840 834 839 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oR <_ u )
841 16 psrbagcon 
 |-  ( ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oR <_ u ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ u ) )
842 757 758 840 841 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ u ) )
843 842 simpld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
844 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
845 809 835 836 836 72 844 837 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
846 771 775 836 836 72 838 845 ofrfval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
847 768 846 mpbid 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
848 847 r19.21bi 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
849 828 nn0red 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. RR )
850 60 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. RR )
851 801 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
852 851 nn0red 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. RR )
853 849 850 852 lesubaddd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) <-> ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
854 848 853 mpbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) )
855 854 ralrimiva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> A. i e. I ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) )
856 771 835 836 836 72 offn 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
857 771 835 836 836 72 838 837 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
858 856 809 836 836 72 857 844 ofrfval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d <-> A. i e. I ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) ) )
859 855 858 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d )
860 755 843 859 elrabd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
861 828 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC )
862 237 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC )
863 861 862 npcand 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( u ` i ) )
864 863 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) )
865 856 835 836 836 72 857 837 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
866 760 feqmptd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) )
867 864 865 866 3eqtr4rd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
868 oveq1 
 |-  ( m = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
869 868 eqeq2d 
 |-  ( m = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
870 754 860 867 869 rspceb2dv 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) )
871 454 719 870 3bitrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) <-> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) )
872 871 eqrdv 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } )
873 difrab 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) }
874 872 873 eqtr4di 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) = ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) )
875 difssd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
876 874 875 eqsstrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
877 703 876 113 fmptssfisupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
878 difss 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d }
879 disjdif 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/)
880 ssdisj 
 |-  ( ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/) ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/) )
881 878 879 880 mp2an 
 |-  ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/)
882 881 ineqcomi 
 |-  ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) = (/)
883 882 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) = (/) )
884 279 99 psdmullem 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) = ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) )
885 874 884 eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) = ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) )
886 10 104 11 14 696 699 877 883 885 gsumsplit2 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
887 692 886 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
888 425 591 887 3eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) ` d ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
889 415 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) e. B )
890 1 2 35 4 16 385 889 15 psrmulval 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ` d ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) ) ) )
891 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> R e. CRing )
892 9 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> G e. B )
893 1 2 16 252 891 285 892 247 psdcoef 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) )
894 267 fveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( G ` ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) )
895 894 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) )
896 893 895 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) )
897 896 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) = ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
898 309 nn0zd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. ZZ )
899 10 24 35 mulgass3 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. ZZ /\ ( F ` u ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
900 224 898 228 271 899 syl13anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
901 897 900 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
902 901 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
903 902 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
904 10 11 14 221 321 275 282 gsummptfidmsplit 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
905 890 903 904 3eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ` d ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
906 419 421 422 422 423 888 905 offval 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) oF ( +g ` R ) ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
907 417 906 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
908 409 411 907 3eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( F .x. G ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) )