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Theorem psrass23

Description: Associative identities for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019)

Ref Expression
Hypotheses psrring.s 
|- S = ( I mPwSer R )
psrring.i 
|- ( ph -> I e. V )
psrring.r 
|- ( ph -> R e. Ring )
psrass.d 
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrass.t 
|- .X. = ( .r ` S )
psrass.b 
|- B = ( Base ` S )
psrass.x 
|- ( ph -> X e. B )
psrass.y 
|- ( ph -> Y e. B )
psrcom.c 
|- ( ph -> R e. CRing )
psrass.k 
|- K = ( Base ` R )
psrass.n 
|- .x. = ( .s ` S )
psrass.a 
|- ( ph -> A e. K )
Assertion psrass23 
|- ( ph -> ( ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) /\ ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psrring.s 
 |-  S = ( I mPwSer R )
2 psrring.i 
 |-  ( ph -> I e. V )
3 psrring.r 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
4 psrass.d 
 |-  D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5 psrass.t 
 |-  .X. = ( .r ` S )
6 psrass.b 
 |-  B = ( Base ` S )
7 psrass.x 
 |-  ( ph -> X e. B )
8 psrass.y 
 |-  ( ph -> Y e. B )
9 psrcom.c 
 |-  ( ph -> R e. CRing )
10 psrass.k 
 |-  K = ( Base ` R )
11 psrass.n 
 |-  .x. = ( .s ` S )
12 psrass.a 
 |-  ( ph -> A e. K )
13 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 psrass23l 
 |-  ( ph -> ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) )
14 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
15 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
16 12 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> A e. K )
17 16 10 eleqtrdi 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> A e. ( Base ` R ) )
18 17 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> A e. ( Base ` R ) )
19 8 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y e. B )
20 ssrab2 
 |-  { y e. D | y oR <_ k } C_ D
21 eqid 
 |-  { y e. D | y oR <_ k } = { y e. D | y oR <_ k }
22 4 21 psrbagconcl 
 |-  ( ( k e. D /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
23 22 adantll 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
24 20 23 sselid 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
25 1 11 14 6 15 4 18 19 24 psrvscaval 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) = ( A ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
26 25 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( A ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
27 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X e. B )
28 1 14 4 6 27 psrelbas 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
29 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. D | y oR <_ k } )
30 20 29 sselid 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
31 28 30 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
32 1 14 4 6 19 psrelbas 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
33 32 24 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
34 9 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. CRing )
35 14 15 crngcom 
 |-  ( ( R e. CRing /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u ( .r ` R ) v ) = ( v ( .r ` R ) u ) )
36 35 3expb 
 |-  ( ( R e. CRing /\ ( u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) ) -> ( u ( .r ` R ) v ) = ( v ( .r ` R ) u ) )
37 34 36 sylan 
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) ) -> ( u ( .r ` R ) v ) = ( v ( .r ` R ) u ) )
38 3 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
39 14 15 ringass 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) /\ w e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( u ( .r ` R ) v ) ( .r ` R ) w ) = ( u ( .r ` R ) ( v ( .r ` R ) w ) ) )
40 38 39 sylan 
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) /\ w e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( u ( .r ` R ) v ) ( .r ` R ) w ) = ( u ( .r ` R ) ( v ( .r ` R ) w ) ) )
41 31 18 33 37 40 caov12d 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( A ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
42 26 41 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
43 42 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
44 43 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
45 eqid 
 |-  ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
46 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
47 4 psrbaglefi 
 |-  ( k e. D -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
48 47 adantl 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
49 14 15 38 31 33 ringcld 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
50 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
51 4 50 rabex2 
 |-  D e. _V
52 51 mptrabex 
 |-  ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V
53 funmpt 
 |-  Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
54 fvex 
 |-  ( 0g ` R ) e. _V
55 52 53 54 3pm3.2i 
 |-  ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V )
56 55 a1i 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) )
57 suppssdm 
 |-  ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ dom ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
58 eqid 
 |-  ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
59 58 dmmptss 
 |-  dom ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k }
60 57 59 sstri 
 |-  ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k }
61 60 a1i 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k } )
62 suppssfifsupp 
 |-  ( ( ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) /\ ( { y e. D | y oR <_ k } e. Fin /\ ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k } ) ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
63 56 48 61 62 syl12anc 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
64 14 45 15 46 48 17 49 63 gsummulc2 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
65 44 64 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
66 65 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( A ( .r ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
67 1 11 10 6 3 12 8 psrvscacl 
 |-  ( ph -> ( A .x. Y ) e. B )
68 1 6 15 5 4 7 67 psrmulfval 
 |-  ( ph -> ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
69 1 6 5 3 7 8 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( X .X. Y ) e. B )
70 1 11 10 6 15 4 12 69 psrvsca 
 |-  ( ph -> ( A .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( D X. { A } ) oF ( .r ` R ) ( X .X. Y ) ) )
71 51 a1i 
 |-  ( ph -> D e. _V )
72 ovex 
 |-  ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V
73 72 a1i 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V )
74 fconstmpt 
 |-  ( D X. { A } ) = ( k e. D |-> A )
75 74 a1i 
 |-  ( ph -> ( D X. { A } ) = ( k e. D |-> A ) )
76 1 6 15 5 4 7 8 psrmulfval 
 |-  ( ph -> ( X .X. Y ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
77 71 16 73 75 76 offval2 
 |-  ( ph -> ( ( D X. { A } ) oF ( .r ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( k e. D |-> ( A ( .r ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
78 70 77 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( A .x. ( X .X. Y ) ) = ( k e. D |-> ( A ( .r ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
79 66 68 78 3eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) )
80 13 79 jca 
 |-  ( ph -> ( ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) /\ ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) ) )