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Theorem psrdi

Description: Distributive law for the ring of power series (left-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses psrring.s 
|- S = ( I mPwSer R )
psrring.i 
|- ( ph -> I e. V )
psrring.r 
|- ( ph -> R e. Ring )
psrass.d 
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrass.t 
|- .X. = ( .r ` S )
psrass.b 
|- B = ( Base ` S )
psrass.x 
|- ( ph -> X e. B )
psrass.y 
|- ( ph -> Y e. B )
psrass.z 
|- ( ph -> Z e. B )
psrdi.a 
|- .+ = ( +g ` S )
Assertion psrdi 
|- ( ph -> ( X .X. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .X. Y ) .+ ( X .X. Z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psrring.s 
 |-  S = ( I mPwSer R )
2 psrring.i 
 |-  ( ph -> I e. V )
3 psrring.r 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
4 psrass.d 
 |-  D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5 psrass.t 
 |-  .X. = ( .r ` S )
6 psrass.b 
 |-  B = ( Base ` S )
7 psrass.x 
 |-  ( ph -> X e. B )
8 psrass.y 
 |-  ( ph -> Y e. B )
9 psrass.z 
 |-  ( ph -> Z e. B )
10 psrdi.a 
 |-  .+ = ( +g ` S )
11 eqid 
 |-  ( +g ` R ) = ( +g ` R )
12 1 6 11 10 8 9 psradd 
 |-  ( ph -> ( Y .+ Z ) = ( Y oF ( +g ` R ) Z ) )
13 12 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) = ( ( Y oF ( +g ` R ) Z ) ` ( k oF - x ) ) )
14 13 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) = ( ( Y oF ( +g ` R ) Z ) ` ( k oF - x ) ) )
15 ssrab2 
 |-  { y e. D | y oR <_ k } C_ D
16 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
17 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. D | y oR <_ k } )
18 eqid 
 |-  { y e. D | y oR <_ k } = { y e. D | y oR <_ k }
19 4 18 psrbagconcl 
 |-  ( ( k e. D /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
20 16 17 19 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
21 15 20 sselid 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
22 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
23 1 22 4 6 8 psrelbas 
 |-  ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
24 23 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
25 24 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y Fn D )
26 1 22 4 6 9 psrelbas 
 |-  ( ph -> Z : D --> ( Base ` R ) )
27 26 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Z : D --> ( Base ` R ) )
28 27 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Z Fn D )
29 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
30 4 29 rabex2 
 |-  D e. _V
31 30 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> D e. _V )
32 inidm 
 |-  ( D i^i D ) = D
33 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( k oF - x ) e. D ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = ( Y ` ( k oF - x ) ) )
34 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( k oF - x ) e. D ) -> ( Z ` ( k oF - x ) ) = ( Z ` ( k oF - x ) ) )
35 25 28 31 31 32 33 34 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( k oF - x ) e. D ) -> ( ( Y oF ( +g ` R ) Z ) ` ( k oF - x ) ) = ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
36 21 35 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( Y oF ( +g ` R ) Z ) ` ( k oF - x ) ) = ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
37 14 36 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) = ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
38 37 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
39 3 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
40 1 22 4 6 7 psrelbas 
 |-  ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
41 40 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
42 15 17 sselid 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
43 41 42 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
44 24 21 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
45 27 21 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Z ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
46 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
47 22 11 46 ringdi 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( Z ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
48 39 43 44 45 47 syl13anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
49 38 48 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
50 49 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
51 4 psrbaglefi 
 |-  ( k e. D -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
52 51 adantl 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
53 22 46 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
54 39 43 44 53 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
55 22 46 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Z ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
56 39 43 45 55 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
57 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
58 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
59 52 54 56 57 58 offval2 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
60 50 59 eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
61 60 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsum ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
62 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
63 ringcmn 
 |-  ( R e. Ring -> R e. CMnd )
64 62 63 syl 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
65 eqid 
 |-  ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
66 eqid 
 |-  ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
67 22 11 64 52 54 56 65 66 gsummptfidmadd2 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
68 61 67 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
69 68 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
70 ringgrp 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Grp )
71 3 70 syl 
 |-  ( ph -> R e. Grp )
72 1 6 10 71 8 9 psraddcl 
 |-  ( ph -> ( Y .+ Z ) e. B )
73 1 6 46 5 4 7 72 psrmulfval 
 |-  ( ph -> ( X .X. ( Y .+ Z ) ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
74 1 6 5 3 7 8 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( X .X. Y ) e. B )
75 1 6 5 3 7 9 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( X .X. Z ) e. B )
76 1 6 11 10 74 75 psradd 
 |-  ( ph -> ( ( X .X. Y ) .+ ( X .X. Z ) ) = ( ( X .X. Y ) oF ( +g ` R ) ( X .X. Z ) ) )
77 30 a1i 
 |-  ( ph -> D e. _V )
78 ovexd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V )
79 ovexd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V )
80 1 6 46 5 4 7 8 psrmulfval 
 |-  ( ph -> ( X .X. Y ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
81 1 6 46 5 4 7 9 psrmulfval 
 |-  ( ph -> ( X .X. Z ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
82 77 78 79 80 81 offval2 
 |-  ( ph -> ( ( X .X. Y ) oF ( +g ` R ) ( X .X. Z ) ) = ( k e. D |-> ( ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
83 76 82 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( X .X. Y ) .+ ( X .X. Z ) ) = ( k e. D |-> ( ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
84 69 73 83 3eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( X .X. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .X. Y ) .+ ( X .X. Z ) ) )