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Theorem psrmulcllem

Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014)

Ref Expression
Hypotheses psrmulcl.s 
|- S = ( I mPwSer R )
psrmulcl.b 
|- B = ( Base ` S )
psrmulcl.t 
|- .x. = ( .r ` S )
psrmulcl.r 
|- ( ph -> R e. Ring )
psrmulcl.x 
|- ( ph -> X e. B )
psrmulcl.y 
|- ( ph -> Y e. B )
psrmulcl.d 
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
Assertion psrmulcllem 
|- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psrmulcl.s 
 |-  S = ( I mPwSer R )
2 psrmulcl.b 
 |-  B = ( Base ` S )
3 psrmulcl.t 
 |-  .x. = ( .r ` S )
4 psrmulcl.r 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
5 psrmulcl.x 
 |-  ( ph -> X e. B )
6 psrmulcl.y 
 |-  ( ph -> Y e. B )
7 psrmulcl.d 
 |-  D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
8 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
9 eqid 
 |-  ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
10 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
11 ringcmn 
 |-  ( R e. Ring -> R e. CMnd )
12 10 11 syl 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
13 7 psrbaglefi 
 |-  ( k e. D -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
14 13 adantl 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
15 4 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
16 1 8 7 2 5 psrelbas 
 |-  ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
17 16 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
18 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. D | y oR <_ k } )
19 breq1 
 |-  ( y = x -> ( y oR <_ k <-> x oR <_ k ) )
20 19 elrab 
 |-  ( x e. { y e. D | y oR <_ k } <-> ( x e. D /\ x oR <_ k ) )
21 18 20 sylib 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x e. D /\ x oR <_ k ) )
22 21 simpld 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
23 17 22 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
24 1 8 7 2 6 psrelbas 
 |-  ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
25 24 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
26 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
27 7 psrbagf 
 |-  ( x e. D -> x : I --> NN0 )
28 22 27 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x : I --> NN0 )
29 21 simprd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x oR <_ k )
30 7 psrbagcon 
 |-  ( ( k e. D /\ x : I --> NN0 /\ x oR <_ k ) -> ( ( k oF - x ) e. D /\ ( k oF - x ) oR <_ k ) )
31 26 28 29 30 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( k oF - x ) e. D /\ ( k oF - x ) oR <_ k ) )
32 31 simpld 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
33 25 32 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
34 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
35 8 34 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
36 15 23 33 35 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
37 36 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) : { y e. D | y oR <_ k } --> ( Base ` R ) )
38 fvexd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
39 37 14 38 fdmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
40 8 9 12 14 37 39 gsumcl 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
41 40 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base ` R ) )
42 fvex 
 |-  ( Base ` R ) e. _V
43 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
44 7 43 rabex2 
 |-  D e. _V
45 42 44 elmap 
 |-  ( ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base ` R ) )
46 41 45 sylibr 
 |-  ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
47 1 2 34 3 7 5 6 psrmulfval 
 |-  ( ph -> ( X .x. Y ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
48 reldmpsr 
 |-  Rel dom mPwSer
49 48 1 2 elbasov 
 |-  ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
50 5 49 syl 
 |-  ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
51 50 simpld 
 |-  ( ph -> I e. _V )
52 1 8 7 2 51 psrbas 
 |-  ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
53 46 47 52 3eltr4d 
 |-  ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )