Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
psrmulcl.s |
|- S = ( I mPwSer R ) |
2 |
|
psrmulcl.b |
|- B = ( Base ` S ) |
3 |
|
psrmulcl.t |
|- .x. = ( .r ` S ) |
4 |
|
psrmulcl.r |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
5 |
|
psrmulcl.x |
|- ( ph -> X e. B ) |
6 |
|
psrmulcl.y |
|- ( ph -> Y e. B ) |
7 |
|
psrmulcl.d |
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |
8 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
9 |
1 8 7 2 5
|
psrelbas |
|- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) ) |
10 |
1 8 7 2 6
|
psrelbas |
|- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) ) |
11 |
7 4 9 10
|
rhmpsrlem2 |
|- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
12 |
11
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base ` R ) ) |
13 |
|
fvex |
|- ( Base ` R ) e. _V |
14 |
|
ovex |
|- ( NN0 ^m I ) e. _V |
15 |
7 14
|
rabex2 |
|- D e. _V |
16 |
13 15
|
elmap |
|- ( ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base ` R ) ) |
17 |
12 16
|
sylibr |
|- ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) ) |
18 |
|
eqid |
|- ( .r ` R ) = ( .r ` R ) |
19 |
1 2 18 3 7 5 6
|
psrmulfval |
|- ( ph -> ( X .x. Y ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) |
20 |
|
reldmpsr |
|- Rel dom mPwSer |
21 |
20 1 2
|
elbasov |
|- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) ) |
22 |
5 21
|
syl |
|- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) ) |
23 |
22
|
simpld |
|- ( ph -> I e. _V ) |
24 |
1 8 7 2 23
|
psrbas |
|- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) ) |
25 |
17 19 24
|
3eltr4d |
|- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B ) |