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Theorem ptcmplem5

Description: Lemma for ptcmp . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015)

Ref Expression
Hypotheses ptcmp.1 
|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
ptcmp.2 
|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
ptcmp.3 
|- ( ph -> A e. V )
ptcmp.4 
|- ( ph -> F : A --> Comp )
ptcmp.5 
|- ( ph -> X e. ( UFL i^i dom card ) )
Assertion ptcmplem5 
|- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Comp )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ptcmp.1 
 |-  S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
2 ptcmp.2 
 |-  X = X_ n e. A U. ( F ` n )
3 ptcmp.3 
 |-  ( ph -> A e. V )
4 ptcmp.4 
 |-  ( ph -> F : A --> Comp )
5 ptcmp.5 
 |-  ( ph -> X e. ( UFL i^i dom card ) )
6 5 elin1d 
 |-  ( ph -> X e. UFL )
7 1 2 3 4 5 ptcmplem1 
 |-  ( ph -> ( X = U. ( ran S u. { X } ) /\ ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) ) )
8 7 simpld 
 |-  ( ph -> X = U. ( ran S u. { X } ) )
9 7 simprd 
 |-  ( ph -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) )
10 elpwi 
 |-  ( y e. ~P ran S -> y C_ ran S )
11 3 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> A e. V )
12 4 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> F : A --> Comp )
13 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> X e. ( UFL i^i dom card ) )
14 simplrl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> y C_ ran S )
15 simplrr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> X = U. y )
16 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
17 imaeq2 
 |-  ( z = u -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " z ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
18 17 eleq1d 
 |-  ( z = u -> ( ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " z ) e. y <-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. y ) )
19 18 cbvrabv 
 |-  { z e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " z ) e. y } = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. y }
20 1 2 11 12 13 14 15 16 19 ptcmplem4 
 |-  -. ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
21 iman 
 |-  ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) <-> -. ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
22 20 21 mpbir 
 |-  ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
23 22 expr 
 |-  ( ( ph /\ y C_ ran S ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
24 10 23 sylan2 
 |-  ( ( ph /\ y e. ~P ran S ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
25 24 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ y e. ~P ran S ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
26 velpw 
 |-  ( y e. ~P ( ran S u. { X } ) <-> y C_ ( ran S u. { X } ) )
27 eldif 
 |-  ( y e. ( ~P ( ran S u. { X } ) \ ~P ran S ) <-> ( y e. ~P ( ran S u. { X } ) /\ -. y e. ~P ran S ) )
28 elpwunsn 
 |-  ( y e. ( ~P ( ran S u. { X } ) \ ~P ran S ) -> X e. y )
29 27 28 sylbir 
 |-  ( ( y e. ~P ( ran S u. { X } ) /\ -. y e. ~P ran S ) -> X e. y )
30 26 29 sylanbr 
 |-  ( ( y C_ ( ran S u. { X } ) /\ -. y e. ~P ran S ) -> X e. y )
31 30 adantll 
 |-  ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ -. y e. ~P ran S ) -> X e. y )
32 snssi 
 |-  ( X e. y -> { X } C_ y )
33 32 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> { X } C_ y )
34 snfi 
 |-  { X } e. Fin
35 elfpw 
 |-  ( { X } e. ( ~P y i^i Fin ) <-> ( { X } C_ y /\ { X } e. Fin ) )
36 33 34 35 sylanblrc 
 |-  ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> { X } e. ( ~P y i^i Fin ) )
37 unisng 
 |-  ( X e. y -> U. { X } = X )
38 37 eqcomd 
 |-  ( X e. y -> X = U. { X } )
39 38 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> X = U. { X } )
40 unieq 
 |-  ( z = { X } -> U. z = U. { X } )
41 40 rspceeqv 
 |-  ( ( { X } e. ( ~P y i^i Fin ) /\ X = U. { X } ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
42 36 39 41 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
43 42 a1d 
 |-  ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
44 31 43 syldan 
 |-  ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ -. y e. ~P ran S ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
45 25 44 pm2.61dan 
 |-  ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
46 45 impr 
 |-  ( ( ph /\ ( y C_ ( ran S u. { X } ) /\ X = U. y ) ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
47 6 8 9 46 alexsub 
 |-  ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Comp )