Theorem pttop

Description: The product topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015)

	Ref	Expression
Assertion	pttop	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn	|- ( F : A --> Top -> F Fn A )
2		eqid	|- { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
3	2	ptval	|- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
4	1 3	sylan2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
5	2	ptbas	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases )
6		tgcl	|- ( { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) e. Top )
7	5 6	syl	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) e. Top )
8	4 7	eqeltrd	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )