Theorem pwmndgplus

Description: The operation of the monoid of the power set of a class A under union. (Contributed by AV, 27-Feb-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	pwmnd.b	|- ( Base ` M ) = ~P A
	pwmnd.p	|- ( +g ` M ) = ( x e. ~P A , y e. ~P A |-> ( x u. y ) )
Assertion	pwmndgplus	|- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X ( +g ` M ) Y ) = ( X u. Y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwmnd.b	|- ( Base ` M ) = ~P A
2		pwmnd.p	|- ( +g ` M ) = ( x e. ~P A , y e. ~P A |-> ( x u. y ) )
3	2	a1i	|- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( +g ` M ) = ( x e. ~P A , y e. ~P A |-> ( x u. y ) ) )
4		uneq12	|- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x u. y ) = ( X u. Y ) )
5	4	adantl	|- ( ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x u. y ) = ( X u. Y ) )
6		simpl	|- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> X e. ~P A )
7		simpr	|- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> Y e. ~P A )
8		unexg	|- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X u. Y ) e. _V )
9	3 5 6 7 8	ovmpod	|- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X ( +g ` M ) Y ) = ( X u. Y ) )