Theorem r19.12

Description: Restricted quantifier version of 19.12 . (Contributed by NM, 15-Oct-2003) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011) Avoid ax-13 , ax-ext . (Revised by Wolf Lammen, 17-Jun-2023)

	Ref	Expression
Assertion	r19.12	|- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex	|- ( E. x e. A A. y e. B ph <-> E. x ( x e. A /\ A. y e. B ph ) )
2		nfv	|- F/ y x e. A
3		nfra1	|- F/ y A. y e. B ph
4	2 3	nfan	|- F/ y ( x e. A /\ A. y e. B ph )
5	4	nfex	|- F/ y E. x ( x e. A /\ A. y e. B ph )
6	1 5	nfxfr	|- F/ y E. x e. A A. y e. B ph
7		ax-1	|- ( E. x e. A A. y e. B ph -> ( y e. B -> E. x e. A A. y e. B ph ) )
8		rsp	|- ( A. y e. B ph -> ( y e. B -> ph ) )
9	8	com12	|- ( y e. B -> ( A. y e. B ph -> ph ) )
10	9	reximdv	|- ( y e. B -> ( E. x e. A A. y e. B ph -> E. x e. A ph ) )
11	7 10	sylcom	|- ( E. x e. A A. y e. B ph -> ( y e. B -> E. x e. A ph ) )
12	6 11	ralrimi	|- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )