Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
r2ex |
|- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ph <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z e. C ph ) ) |
2 |
|
df-rex |
|- ( E. z e. C ph <-> E. z ( z e. C /\ ph ) ) |
3 |
2
|
anbi2i |
|- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z e. C ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ( z e. C /\ ph ) ) ) |
4 |
|
19.42v |
|- ( E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( z e. C /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ( z e. C /\ ph ) ) ) |
5 |
|
anass |
|- ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( z e. C /\ ph ) ) ) |
6 |
5
|
bicomi |
|- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( z e. C /\ ph ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) /\ ph ) ) |
7 |
|
df-3an |
|- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) ) |
8 |
7
|
bicomi |
|- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) <-> ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) ) |
9 |
6 8
|
bianbi |
|- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( z e. C /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) /\ ph ) ) |
10 |
9
|
exbii |
|- ( E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( z e. C /\ ph ) ) <-> E. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) /\ ph ) ) |
11 |
3 4 10
|
3bitr2i |
|- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z e. C ph ) <-> E. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) /\ ph ) ) |
12 |
11
|
2exbii |
|- ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z e. C ph ) <-> E. x E. y E. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) /\ ph ) ) |
13 |
1 12
|
bitri |
|- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ph <-> E. x E. y E. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) /\ ph ) ) |