Theorem rabss

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Aug-2006)

	Ref	Expression
Assertion	rabss	|- ( { x e. A | ph } C_ B <-> A. x e. A ( ph -> x e. B ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab	|- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
2	1	sseq1i	|- ( { x e. A | ph } C_ B <-> { x | ( x e. A /\ ph ) } C_ B )
3		abss	|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } C_ B <-> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x e. B ) )
4		impexp	|- ( ( ( x e. A /\ ph ) -> x e. B ) <-> ( x e. A -> ( ph -> x e. B ) ) )
5	4	albii	|- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x e. B ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x e. B ) ) )
6		df-ral	|- ( A. x e. A ( ph -> x e. B ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x e. B ) ) )
7	5 6	bitr4i	|- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x e. B ) <-> A. x e. A ( ph -> x e. B ) )
8	2 3 7	3bitri	|- ( { x e. A | ph } C_ B <-> A. x e. A ( ph -> x e. B ) )