Theorem rabssf

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021)

	Ref	Expression
Hypothesis	rabssf.1	|- F/_ x B
Assertion	rabssf	|- ( { x e. A | ph } C_ B <-> A. x e. A ( ph -> x e. B ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabssf.1	|- F/_ x B
2		df-rab	|- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
3	2	sseq1i	|- ( { x e. A | ph } C_ B <-> { x | ( x e. A /\ ph ) } C_ B )
4	1	abssf	|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } C_ B <-> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x e. B ) )
5		impexp	|- ( ( ( x e. A /\ ph ) -> x e. B ) <-> ( x e. A -> ( ph -> x e. B ) ) )
6	5	albii	|- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x e. B ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x e. B ) ) )
7		df-ral	|- ( A. x e. A ( ph -> x e. B ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x e. B ) ) )
8	6 7	bitr4i	|- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x e. B ) <-> A. x e. A ( ph -> x e. B ) )
9	3 4 8	3bitri	|- ( { x e. A | ph } C_ B <-> A. x e. A ( ph -> x e. B ) )