Theorem raliunxp

Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of ralxp , B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014)

	Ref	Expression
Hypothesis	ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
Assertion	raliunxp	|- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
2		eliunxp	|- ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) <-> E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) )
3	2	imbi1i	|- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
4		19.23vv	|- ( A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
5	3 4	bitr4i	|- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
6	5	albii	|- ( A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
7		alrot3	|- ( A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
8		impexp	|- ( ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) )
9	8	albii	|- ( A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. x ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) )
10		opex	|- <. y , z >. e. _V
11	1	imbi2d	|- ( x = <. y , z >. -> ( ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) ) )
12	10 11	ceqsalv	|- ( A. x ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
13	9 12	bitri	|- ( A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
14	13	2albii	|- ( A. y A. z A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
15	7 14	bitri	|- ( A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
16	6 15	bitri	|- ( A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
17		df-ral	|- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) )
18		r2al	|- ( A. y e. A A. z e. B ps <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
19	16 17 18	3bitr4i	|- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )