Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ralprg.1 |
|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) |
2 |
|
ralprg.2 |
|- ( x = B -> ( ph <-> ch ) ) |
3 |
|
df-pr |
|- { A , B } = ( { A } u. { B } ) |
4 |
3
|
raleqi |
|- ( A. x e. { A , B } ph <-> A. x e. ( { A } u. { B } ) ph ) |
5 |
|
ralunb |
|- ( A. x e. ( { A } u. { B } ) ph <-> ( A. x e. { A } ph /\ A. x e. { B } ph ) ) |
6 |
4 5
|
bitri |
|- ( A. x e. { A , B } ph <-> ( A. x e. { A } ph /\ A. x e. { B } ph ) ) |
7 |
1
|
ralsng |
|- ( A e. V -> ( A. x e. { A } ph <-> ps ) ) |
8 |
2
|
ralsng |
|- ( B e. W -> ( A. x e. { B } ph <-> ch ) ) |
9 |
7 8
|
bi2anan9 |
|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( A. x e. { A } ph /\ A. x e. { B } ph ) <-> ( ps /\ ch ) ) ) |
10 |
6 9
|
bitrid |
|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x e. { A , B } ph <-> ( ps /\ ch ) ) ) |