Theorem ralprgf

Description: Convert a restricted universal quantification over a pair to a conjunction, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by NM, 17-Sep-2011) (Revised by AV, 8-Apr-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	ralprgf.1	|- F/ x ps
	ralprgf.2	|- F/ x ch
	ralprgf.a	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
	ralprgf.b	|- ( x = B -> ( ph <-> ch ) )
Assertion	ralprgf	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x e. { A , B } ph <-> ( ps /\ ch ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralprgf.1	|- F/ x ps
2		ralprgf.2	|- F/ x ch
3		ralprgf.a	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
4		ralprgf.b	|- ( x = B -> ( ph <-> ch ) )
5		df-pr	|- { A , B } = ( { A } u. { B } )
6	5	raleqi	|- ( A. x e. { A , B } ph <-> A. x e. ( { A } u. { B } ) ph )
7		ralunb	|- ( A. x e. ( { A } u. { B } ) ph <-> ( A. x e. { A } ph /\ A. x e. { B } ph ) )
8	6 7	bitri	|- ( A. x e. { A , B } ph <-> ( A. x e. { A } ph /\ A. x e. { B } ph ) )
9	1 3	ralsngf	|- ( A e. V -> ( A. x e. { A } ph <-> ps ) )
10	2 4	ralsngf	|- ( B e. W -> ( A. x e. { B } ph <-> ch ) )
11	9 10	bi2anan9	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( A. x e. { A } ph /\ A. x e. { B } ph ) <-> ( ps /\ ch ) ) )
12	8 11	bitrid	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x e. { A , B } ph <-> ( ps /\ ch ) ) )