Theorem ralxfr

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A . (Contributed by NM, 10-Jun-2005) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	ralxfr.1	|- ( y e. C -> A e. B )
	ralxfr.2	|- ( x e. B -> E. y e. C x = A )
	ralxfr.3	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
Assertion	ralxfr	|- ( A. x e. B ph <-> A. y e. C ps )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxfr.1	|- ( y e. C -> A e. B )
2		ralxfr.2	|- ( x e. B -> E. y e. C x = A )
3		ralxfr.3	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
4	1	adantl	|- ( ( T. /\ y e. C ) -> A e. B )
5	2	adantl	|- ( ( T. /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
6	3	adantl	|- ( ( T. /\ x = A ) -> ( ph <-> ps ) )
7	4 5 6	ralxfrd	|- ( T. -> ( A. x e. B ph <-> A. y e. C ps ) )
8	7	mptru	|- ( A. x e. B ph <-> A. y e. C ps )