Theorem ralxfrALT

Description: Alternate proof of ralxfr which does not use ralxfrd . (Contributed by NM, 10-Jun-2005) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2014) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	ralxfr.1	|- ( y e. C -> A e. B )
	ralxfr.2	|- ( x e. B -> E. y e. C x = A )
	ralxfr.3	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
Assertion	ralxfrALT	|- ( A. x e. B ph <-> A. y e. C ps )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxfr.1	|- ( y e. C -> A e. B )
2		ralxfr.2	|- ( x e. B -> E. y e. C x = A )
3		ralxfr.3	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
4	3	rspcv	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
5	1 4	syl	|- ( y e. C -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
6	5	com12	|- ( A. x e. B ph -> ( y e. C -> ps ) )
7	6	ralrimiv	|- ( A. x e. B ph -> A. y e. C ps )
8		nfra1	|- F/ y A. y e. C ps
9		nfv	|- F/ y ph
10		rsp	|- ( A. y e. C ps -> ( y e. C -> ps ) )
11	3	biimprcd	|- ( ps -> ( x = A -> ph ) )
12	10 11	syl6	|- ( A. y e. C ps -> ( y e. C -> ( x = A -> ph ) ) )
13	8 9 12	rexlimd	|- ( A. y e. C ps -> ( E. y e. C x = A -> ph ) )
14	2 13	syl5	|- ( A. y e. C ps -> ( x e. B -> ph ) )
15	14	ralrimiv	|- ( A. y e. C ps -> A. x e. B ph )
16	7 15	impbii	|- ( A. x e. B ph <-> A. y e. C ps )