Theorem ralxfrd2

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A . Variant of ralxfrd . (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Apr-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	ralxfrd2.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
	ralxfrd2.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
	ralxfrd2.3	|- ( ( ph /\ y e. C /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
Assertion	ralxfrd2	|- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. y e. C ch ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxfrd2.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
2		ralxfrd2.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
3		ralxfrd2.3	|- ( ( ph /\ y e. C /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
4	3	3expa	|- ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
5	1 4	rspcdv	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( A. x e. B ps -> ch ) )
6	5	ralrimdva	|- ( ph -> ( A. x e. B ps -> A. y e. C ch ) )
7		r19.29	|- ( ( A. y e. C ch /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ( ch /\ x = A ) )
8	3	ad4ant134	|- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. C ) /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
9	8	exbiri	|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. C ) -> ( x = A -> ( ch -> ps ) ) )
10	9	impcomd	|- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. C ) -> ( ( ch /\ x = A ) -> ps ) )
11	10	rexlimdva	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( E. y e. C ( ch /\ x = A ) -> ps ) )
12	7 11	syl5	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. y e. C ch /\ E. y e. C x = A ) -> ps ) )
13	2 12	mpan2d	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y e. C ch -> ps ) )
14	13	ralrimdva	|- ( ph -> ( A. y e. C ch -> A. x e. B ps ) )
15	6 14	impbid	|- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. y e. C ch ) )