Theorem reeanlem

Description: Lemma factoring out common proof steps of reeanv and reean . (Contributed by Wolf Lammen, 20-Aug-2023)

	Ref	Expression
Hypothesis	reeanlem.1	|- ( E. x E. y ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. B /\ ps ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y ( y e. B /\ ps ) ) )
Assertion	reeanlem	|- ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeanlem.1	|- ( E. x E. y ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. B /\ ps ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y ( y e. B /\ ps ) ) )
2		an4	|- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. B /\ ps ) ) )
3	2	2exbii	|- ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( ph /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. B /\ ps ) ) )
4	3 1	bitri	|- ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y ( y e. B /\ ps ) ) )
5		r2ex	|- ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
6		df-rex	|- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
7		df-rex	|- ( E. y e. B ps <-> E. y ( y e. B /\ ps ) )
8	6 7	anbi12i	|- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y ( y e. B /\ ps ) ) )
9	4 5 8	3bitr4i	|- ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) )