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Theorem retbwax1

Description: tbw-ax1 rederived from merco1 .

This theorem, along with retbwax2 , retbwax3 , and retbwax4 , shows that merco1 with ax-mp can be used as a complete axiomatization of propositional calculus. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion retbwax1 
|- ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 merco1lem18 
 |-  ( ( ps -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) )
2 merco1lem16 
 |-  ( ( ( ps -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) )
3 1 2 ax-mp 
 |-  ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) )
4 merco1lem15 
 |-  ( ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) )
5 merco1lem15 
 |-  ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) )
6 4 5 ax-mp 
 |-  ( ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
7 merco1lem18 
 |-  ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) )
8 6 7 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
9 merco1lem14 
 |-  ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) )
10 8 9 ax-mp 
 |-  ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
11 merco1lem14 
 |-  ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) )
12 merco1lem10 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) -> F. ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ph -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) )
13 merco1 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) -> F. ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ph -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) ) -> ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) ) )
14 12 13 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) )
15 merco1 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) ) )
16 14 15 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) )
17 merco1 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
18 16 17 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) )
19 11 18 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) )
20 merco1lem15 
 |-  ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
21 19 20 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) )
22 merco1lem10 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) )
23 merco1lem9 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) )
24 22 23 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) )
25 merco1lem13 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) )
26 24 25 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) )
27 21 26 ax-mp 
 |-  ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
28 10 27 ax-mp 
 |-  ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) )
29 3 28 ax-mp 
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