Metamath Proof Explorer


Theorem reu8

Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006)

Ref Expression
Hypothesis rmo4.1
|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
Assertion reu8
|- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rmo4.1
 |-  ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2 1 cbvreuvw
 |-  ( E! x e. A ph <-> E! y e. A ps )
3 reu6
 |-  ( E! y e. A ps <-> E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) )
4 dfbi2
 |-  ( ( ps <-> y = x ) <-> ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
5 4 ralbii
 |-  ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
6 r19.26
 |-  ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
7 ancom
 |-  ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) )
8 equcom
 |-  ( x = y <-> y = x )
9 8 imbi2i
 |-  ( ( ps -> x = y ) <-> ( ps -> y = x ) )
10 9 ralbii
 |-  ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) )
11 10 a1i
 |-  ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) ) )
12 biimt
 |-  ( x e. A -> ( ph <-> ( x e. A -> ph ) ) )
13 df-ral
 |-  ( A. y e. A ( y = x -> ps ) <-> A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) )
14 bi2.04
 |-  ( ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
15 14 albii
 |-  ( A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
16 eleq1w
 |-  ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
17 16 1 imbi12d
 |-  ( x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> ps ) ) )
18 17 bicomd
 |-  ( x = y -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
19 18 equcoms
 |-  ( y = x -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
20 19 equsalvw
 |-  ( A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) <-> ( x e. A -> ph ) )
21 13 15 20 3bitrri
 |-  ( ( x e. A -> ph ) <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) )
22 12 21 bitrdi
 |-  ( x e. A -> ( ph <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
23 11 22 anbi12d
 |-  ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
24 7 23 syl5bb
 |-  ( x e. A -> ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
25 6 24 bitr4id
 |-  ( x e. A -> ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
26 5 25 syl5bb
 |-  ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
27 26 rexbiia
 |-  ( E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
28 2 3 27 3bitri
 |-  ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )