Theorem reupick

Description: Restricted uniqueness "picks" a member of a subclass. (Contributed by NM, 21-Aug-1999)

	Ref	Expression
Assertion	reupick	|- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A <-> x e. B ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel	|- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	ad2antrr	|- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
3		df-rex	|- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
4		df-reu	|- ( E! x e. B ph <-> E! x ( x e. B /\ ph ) )
5	3 4	anbi12i	|- ( ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ph ) ) )
6	1	ancrd	|- ( A C_ B -> ( x e. A -> ( x e. B /\ x e. A ) ) )
7	6	anim1d	|- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ x e. A ) /\ ph ) ) )
8		an32	|- ( ( ( x e. B /\ x e. A ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) )
9	7 8	syl6ib	|- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) )
10	9	eximdv	|- ( A C_ B -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) )
11		eupick	|- ( ( E! x ( x e. B /\ ph ) /\ E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
12	11	ex	|- ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) )
13	10 12	syl9	|- ( A C_ B -> ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) ) )
14	13	com23	|- ( A C_ B -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) ) )
15	14	imp32	|- ( ( A C_ B /\ ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ph ) ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
16	5 15	sylan2b	|- ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
17	16	expcomd	|- ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) -> ( ph -> ( x e. B -> x e. A ) ) )
18	17	imp	|- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. B -> x e. A ) )
19	2 18	impbid	|- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A <-> x e. B ) )