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Theorem reuun2

Description: Transfer uniqueness to a smaller or larger class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005) (Proof shortened by Wolf Lammen, 15-May-2025)

Ref Expression
Assertion reuun2 
|- ( -. E. x e. B ph -> ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x e. A ph ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-rex 
 |-  ( E. x e. B ph <-> E. x ( x e. B /\ ph ) )
2 euor2 
 |-  ( -. E. x ( x e. B /\ ph ) -> ( E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
3 1 2 sylnbi 
 |-  ( -. E. x e. B ph -> ( E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
4 df-reu 
 |-  ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) )
5 elun 
 |-  ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
6 5 anbi1i 
 |-  ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) )
7 andir 
 |-  ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
8 orcom 
 |-  ( ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
9 6 7 8 3bitri 
 |-  ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
10 9 eubii 
 |-  ( E! x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
11 4 10 bitri 
 |-  ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
12 df-reu 
 |-  ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
13 3 11 12 3bitr4g 
 |-  ( -. E. x e. B ph -> ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x e. A ph ) )