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Theorem rexdifi

Description: Restricted existential quantification over a difference. (Contributed by AV, 25-Oct-2023)

Ref Expression
Assertion rexdifi 
|- ( ( E. x e. A ph /\ A. x e. B -. ph ) -> E. x e. ( A \ B ) ph )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-rex 
 |-  ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
2 df-ral 
 |-  ( A. x e. B -. ph <-> A. x ( x e. B -> -. ph ) )
3 nfa1 
 |-  F/ x A. x ( x e. B -> -. ph )
4 simprl 
 |-  ( ( A. x ( x e. B -> -. ph ) /\ ( x e. A /\ ph ) ) -> x e. A )
5 con2 
 |-  ( ( x e. B -> -. ph ) -> ( ph -> -. x e. B ) )
6 5 sps 
 |-  ( A. x ( x e. B -> -. ph ) -> ( ph -> -. x e. B ) )
7 6 com12 
 |-  ( ph -> ( A. x ( x e. B -> -. ph ) -> -. x e. B ) )
8 7 adantl 
 |-  ( ( x e. A /\ ph ) -> ( A. x ( x e. B -> -. ph ) -> -. x e. B ) )
9 8 impcom 
 |-  ( ( A. x ( x e. B -> -. ph ) /\ ( x e. A /\ ph ) ) -> -. x e. B )
10 4 9 eldifd 
 |-  ( ( A. x ( x e. B -> -. ph ) /\ ( x e. A /\ ph ) ) -> x e. ( A \ B ) )
11 simprr 
 |-  ( ( A. x ( x e. B -> -. ph ) /\ ( x e. A /\ ph ) ) -> ph )
12 10 11 jca 
 |-  ( ( A. x ( x e. B -> -. ph ) /\ ( x e. A /\ ph ) ) -> ( x e. ( A \ B ) /\ ph ) )
13 12 ex 
 |-  ( A. x ( x e. B -> -. ph ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. ( A \ B ) /\ ph ) ) )
14 3 13 eximd 
 |-  ( A. x ( x e. B -> -. ph ) -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ ph ) ) )
15 14 impcom 
 |-  ( ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ A. x ( x e. B -> -. ph ) ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ ph ) )
16 1 2 15 syl2anb 
 |-  ( ( E. x e. A ph /\ A. x e. B -. ph ) -> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ ph ) )
17 df-rex 
 |-  ( E. x e. ( A \ B ) ph <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ ph ) )
18 16 17 sylibr 
 |-  ( ( E. x e. A ph /\ A. x e. B -. ph ) -> E. x e. ( A \ B ) ph )