Theorem rexprgf

Description: Convert a restricted existential quantification over a pair to a disjunction, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by NM, 17-Sep-2011) (Revised by AV, 2-Apr-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	ralprgf.1	|- F/ x ps
	ralprgf.2	|- F/ x ch
	ralprgf.a	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
	ralprgf.b	|- ( x = B -> ( ph <-> ch ) )
Assertion	rexprgf	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( E. x e. { A , B } ph <-> ( ps \/ ch ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralprgf.1	|- F/ x ps
2		ralprgf.2	|- F/ x ch
3		ralprgf.a	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
4		ralprgf.b	|- ( x = B -> ( ph <-> ch ) )
5		df-pr	|- { A , B } = ( { A } u. { B } )
6	5	rexeqi	|- ( E. x e. { A , B } ph <-> E. x e. ( { A } u. { B } ) ph )
7		rexun	|- ( E. x e. ( { A } u. { B } ) ph <-> ( E. x e. { A } ph \/ E. x e. { B } ph ) )
8	6 7	bitri	|- ( E. x e. { A , B } ph <-> ( E. x e. { A } ph \/ E. x e. { B } ph ) )
9	1 3	rexsngf	|- ( A e. V -> ( E. x e. { A } ph <-> ps ) )
10	9	orbi1d	|- ( A e. V -> ( ( E. x e. { A } ph \/ E. x e. { B } ph ) <-> ( ps \/ E. x e. { B } ph ) ) )
11	2 4	rexsngf	|- ( B e. W -> ( E. x e. { B } ph <-> ch ) )
12	11	orbi2d	|- ( B e. W -> ( ( ps \/ E. x e. { B } ph ) <-> ( ps \/ ch ) ) )
13	10 12	sylan9bb	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( E. x e. { A } ph \/ E. x e. { B } ph ) <-> ( ps \/ ch ) ) )
14	8 13	bitrid	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( E. x e. { A , B } ph <-> ( ps \/ ch ) ) )