Theorem rexxfrd

Description: Transfer existential quantification from a variable x to another variable y contained in expression A . (Contributed by FL, 10-Apr-2007) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	ralxfrd.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
	ralxfrd.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
	ralxfrd.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
Assertion	rexxfrd	|- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxfrd.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
2		ralxfrd.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
3		ralxfrd.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
4	3	notbid	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( -. ps <-> -. ch ) )
5	1 2 4	ralxfrd	|- ( ph -> ( A. x e. B -. ps <-> A. y e. C -. ch ) )
6	5	notbid	|- ( ph -> ( -. A. x e. B -. ps <-> -. A. y e. C -. ch ) )
7		dfrex2	|- ( E. x e. B ps <-> -. A. x e. B -. ps )
8		dfrex2	|- ( E. y e. C ch <-> -. A. y e. C -. ch )
9	6 7 8	3bitr4g	|- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )