Theorem rexxfrd2

Description: Transfer existence from a variable x to another variable y contained in expression A . Variant of rexxfrd . (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Apr-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	ralxfrd2.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
	ralxfrd2.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
	ralxfrd2.3	|- ( ( ph /\ y e. C /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
Assertion	rexxfrd2	|- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxfrd2.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
2		ralxfrd2.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
3		ralxfrd2.3	|- ( ( ph /\ y e. C /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
4	3	notbid	|- ( ( ph /\ y e. C /\ x = A ) -> ( -. ps <-> -. ch ) )
5	1 2 4	ralxfrd2	|- ( ph -> ( A. x e. B -. ps <-> A. y e. C -. ch ) )
6	5	notbid	|- ( ph -> ( -. A. x e. B -. ps <-> -. A. y e. C -. ch ) )
7		dfrex2	|- ( E. x e. B ps <-> -. A. x e. B -. ps )
8		dfrex2	|- ( E. y e. C ch <-> -. A. y e. C -. ch )
9	6 7 8	3bitr4g	|- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )