Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rhmcomulpsr.p |
|- P = ( I mPwSer R ) |
2 |
|
rhmcomulpsr.q |
|- Q = ( I mPwSer S ) |
3 |
|
rhmcomulpsr.b |
|- B = ( Base ` P ) |
4 |
|
rhmcomulpsr.c |
|- C = ( Base ` Q ) |
5 |
|
rhmcomulpsr.1 |
|- .x. = ( .r ` P ) |
6 |
|
rhmcomulpsr.2 |
|- .xb = ( .r ` Q ) |
7 |
|
rhmcomulpsr.h |
|- ( ph -> H e. ( R RingHom S ) ) |
8 |
|
rhmcomulpsr.f |
|- ( ph -> F e. B ) |
9 |
|
rhmcomulpsr.g |
|- ( ph -> G e. B ) |
10 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
11 |
|
eqid |
|- ( Base ` S ) = ( Base ` S ) |
12 |
10 11
|
rhmf |
|- ( H e. ( R RingHom S ) -> H : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) ) |
13 |
7 12
|
syl |
|- ( ph -> H : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) ) |
14 |
|
eqid |
|- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |
15 |
|
rhmrcl1 |
|- ( H e. ( R RingHom S ) -> R e. Ring ) |
16 |
7 15
|
syl |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
17 |
1 10 14 3 8
|
psrelbas |
|- ( ph -> F : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
18 |
1 10 14 3 9
|
psrelbas |
|- ( ph -> G : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
19 |
14 16 17 18
|
rhmpsrlem2 |
|- ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
20 |
13 19
|
cofmpt |
|- ( ph -> ( H o. ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( R gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) ) = ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( H ` ( R gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) ) ) |
21 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
22 |
16
|
ringcmnd |
|- ( ph -> R e. CMnd ) |
23 |
22
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> R e. CMnd ) |
24 |
|
rhmrcl2 |
|- ( H e. ( R RingHom S ) -> S e. Ring ) |
25 |
7 24
|
syl |
|- ( ph -> S e. Ring ) |
26 |
25
|
ringgrpd |
|- ( ph -> S e. Grp ) |
27 |
26
|
grpmndd |
|- ( ph -> S e. Mnd ) |
28 |
27
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> S e. Mnd ) |
29 |
|
ovex |
|- ( NN0 ^m I ) e. _V |
30 |
29
|
rabex |
|- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V |
31 |
30
|
rabex |
|- { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } e. _V |
32 |
31
|
a1i |
|- ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } e. _V ) |
33 |
|
rhmghm |
|- ( H e. ( R RingHom S ) -> H e. ( R GrpHom S ) ) |
34 |
|
ghmmhm |
|- ( H e. ( R GrpHom S ) -> H e. ( R MndHom S ) ) |
35 |
7 33 34
|
3syl |
|- ( ph -> H e. ( R MndHom S ) ) |
36 |
35
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> H e. ( R MndHom S ) ) |
37 |
|
eqid |
|- ( .r ` R ) = ( .r ` R ) |
38 |
16
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> R e. Ring ) |
39 |
|
elrabi |
|- ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } -> d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) |
40 |
17
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ph /\ d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( F ` d ) e. ( Base ` R ) ) |
41 |
39 40
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( F ` d ) e. ( Base ` R ) ) |
42 |
41
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( F ` d ) e. ( Base ` R ) ) |
43 |
18
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> G : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
44 |
|
eqid |
|- { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } = { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |
45 |
14 44
|
psrbagconcl |
|- ( ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( k oF - d ) e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) |
46 |
45
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( k oF - d ) e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) |
47 |
|
elrabi |
|- ( ( k oF - d ) e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } -> ( k oF - d ) e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) |
48 |
46 47
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( k oF - d ) e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) |
49 |
43 48
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( G ` ( k oF - d ) ) e. ( Base ` R ) ) |
50 |
10 37 38 42 49
|
ringcld |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
51 |
14 16 17 18
|
rhmpsrlem1 |
|- ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
52 |
10 21 23 28 32 36 50 51
|
gsummptmhm |
|- ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( S gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( H ` ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) = ( H ` ( R gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) ) |
53 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> H e. ( R RingHom S ) ) |
54 |
|
eqid |
|- ( .r ` S ) = ( .r ` S ) |
55 |
10 37 54
|
rhmmul |
|- ( ( H e. ( R RingHom S ) /\ ( F ` d ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` ( k oF - d ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( H ` ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) = ( ( H ` ( F ` d ) ) ( .r ` S ) ( H ` ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) |
56 |
53 42 49 55
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( H ` ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) = ( ( H ` ( F ` d ) ) ( .r ` S ) ( H ` ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) |
57 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> F : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
58 |
39
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) |
59 |
57 58
|
fvco3d |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( ( H o. F ) ` d ) = ( H ` ( F ` d ) ) ) |
60 |
43 48
|
fvco3d |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( ( H o. G ) ` ( k oF - d ) ) = ( H ` ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) |
61 |
59 60
|
oveq12d |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( ( ( H o. F ) ` d ) ( .r ` S ) ( ( H o. G ) ` ( k oF - d ) ) ) = ( ( H ` ( F ` d ) ) ( .r ` S ) ( H ` ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) |
62 |
56 61
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } ) -> ( H ` ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) = ( ( ( H o. F ) ` d ) ( .r ` S ) ( ( H o. G ) ` ( k oF - d ) ) ) ) |
63 |
62
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( H ` ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) = ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( ( H o. F ) ` d ) ( .r ` S ) ( ( H o. G ) ` ( k oF - d ) ) ) ) ) |
64 |
63
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( S gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( H ` ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) = ( S gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( ( H o. F ) ` d ) ( .r ` S ) ( ( H o. G ) ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) |
65 |
52 64
|
eqtr3d |
|- ( ( ph /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( H ` ( R gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) = ( S gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( ( H o. F ) ` d ) ( .r ` S ) ( ( H o. G ) ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) |
66 |
65
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( H ` ( R gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) ) = ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( S gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( ( H o. F ) ` d ) ( .r ` S ) ( ( H o. G ) ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) ) |
67 |
20 66
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( H o. ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( R gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) ) = ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( S gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( ( H o. F ) ` d ) ( .r ` S ) ( ( H o. G ) ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) ) |
68 |
1 3 37 5 14 8 9
|
psrmulfval |
|- ( ph -> ( F .x. G ) = ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( R gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) ) |
69 |
68
|
coeq2d |
|- ( ph -> ( H o. ( F .x. G ) ) = ( H o. ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( R gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) ) ) |
70 |
1 2 3 4 35 8
|
mhmcopsr |
|- ( ph -> ( H o. F ) e. C ) |
71 |
1 2 3 4 35 9
|
mhmcopsr |
|- ( ph -> ( H o. G ) e. C ) |
72 |
2 4 54 6 14 70 71
|
psrmulfval |
|- ( ph -> ( ( H o. F ) .xb ( H o. G ) ) = ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( S gsum ( d e. { e e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | e oR <_ k } |-> ( ( ( H o. F ) ` d ) ( .r ` S ) ( ( H o. G ) ` ( k oF - d ) ) ) ) ) ) ) |
73 |
67 69 72
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> ( H o. ( F .x. G ) ) = ( ( H o. F ) .xb ( H o. G ) ) ) |