Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rhmpsr.p |
|- P = ( I mPwSer R ) |
2 |
|
rhmpsr.q |
|- Q = ( I mPwSer S ) |
3 |
|
rhmpsr.b |
|- B = ( Base ` P ) |
4 |
|
rhmpsr.f |
|- F = ( p e. B |-> ( H o. p ) ) |
5 |
|
rhmpsr.i |
|- ( ph -> I e. V ) |
6 |
|
rhmpsr.h |
|- ( ph -> H e. ( R RingHom S ) ) |
7 |
|
eqid |
|- ( 1r ` P ) = ( 1r ` P ) |
8 |
|
eqid |
|- ( 1r ` Q ) = ( 1r ` Q ) |
9 |
|
eqid |
|- ( .r ` P ) = ( .r ` P ) |
10 |
|
eqid |
|- ( .r ` Q ) = ( .r ` Q ) |
11 |
|
rhmrcl1 |
|- ( H e. ( R RingHom S ) -> R e. Ring ) |
12 |
6 11
|
syl |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
13 |
1 5 12
|
psrring |
|- ( ph -> P e. Ring ) |
14 |
|
rhmrcl2 |
|- ( H e. ( R RingHom S ) -> S e. Ring ) |
15 |
6 14
|
syl |
|- ( ph -> S e. Ring ) |
16 |
2 5 15
|
psrring |
|- ( ph -> Q e. Ring ) |
17 |
|
eqid |
|- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |
18 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
19 |
|
eqid |
|- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R ) |
20 |
1 5 12 17 18 19 7
|
psr1 |
|- ( ph -> ( 1r ` P ) = ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) |
21 |
20
|
coeq2d |
|- ( ph -> ( H o. ( 1r ` P ) ) = ( H o. ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) |
22 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
23 |
|
eqid |
|- ( Base ` S ) = ( Base ` S ) |
24 |
22 23
|
rhmf |
|- ( H e. ( R RingHom S ) -> H : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) ) |
25 |
6 24
|
syl |
|- ( ph -> H : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) ) |
26 |
22 19
|
ringidcl |
|- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) |
27 |
12 26
|
syl |
|- ( ph -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) |
28 |
22 18
|
ring0cl |
|- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) ) |
29 |
12 28
|
syl |
|- ( ph -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) ) |
30 |
27 29
|
ifcld |
|- ( ph -> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) ) |
31 |
30
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) ) |
32 |
25 31
|
cofmpt |
|- ( ph -> ( H o. ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( H ` if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) |
33 |
|
fvif |
|- ( H ` if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( H ` ( 1r ` R ) ) , ( H ` ( 0g ` R ) ) ) |
34 |
|
eqid |
|- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S ) |
35 |
19 34
|
rhm1 |
|- ( H e. ( R RingHom S ) -> ( H ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` S ) ) |
36 |
6 35
|
syl |
|- ( ph -> ( H ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` S ) ) |
37 |
|
rhmghm |
|- ( H e. ( R RingHom S ) -> H e. ( R GrpHom S ) ) |
38 |
|
eqid |
|- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S ) |
39 |
18 38
|
ghmid |
|- ( H e. ( R GrpHom S ) -> ( H ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) ) |
40 |
6 37 39
|
3syl |
|- ( ph -> ( H ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) ) |
41 |
36 40
|
ifeq12d |
|- ( ph -> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( H ` ( 1r ` R ) ) , ( H ` ( 0g ` R ) ) ) = if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` S ) , ( 0g ` S ) ) ) |
42 |
33 41
|
eqtrid |
|- ( ph -> ( H ` if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` S ) , ( 0g ` S ) ) ) |
43 |
42
|
mpteq2dv |
|- ( ph -> ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( H ` if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` S ) , ( 0g ` S ) ) ) ) |
44 |
21 32 43
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( H o. ( 1r ` P ) ) = ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` S ) , ( 0g ` S ) ) ) ) |
45 |
|
coeq2 |
|- ( p = ( 1r ` P ) -> ( H o. p ) = ( H o. ( 1r ` P ) ) ) |
46 |
3 7
|
ringidcl |
|- ( P e. Ring -> ( 1r ` P ) e. B ) |
47 |
13 46
|
syl |
|- ( ph -> ( 1r ` P ) e. B ) |
48 |
6 47
|
coexd |
|- ( ph -> ( H o. ( 1r ` P ) ) e. _V ) |
49 |
4 45 47 48
|
fvmptd3 |
|- ( ph -> ( F ` ( 1r ` P ) ) = ( H o. ( 1r ` P ) ) ) |
50 |
2 5 15 17 38 34 8
|
psr1 |
|- ( ph -> ( 1r ` Q ) = ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` S ) , ( 0g ` S ) ) ) ) |
51 |
44 49 50
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> ( F ` ( 1r ` P ) ) = ( 1r ` Q ) ) |
52 |
|
eqid |
|- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) |
53 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> H e. ( R RingHom S ) ) |
54 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B ) |
55 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B ) |
56 |
1 2 3 52 9 10 53 54 55
|
rhmcomulpsr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( ( H o. x ) ( .r ` Q ) ( H o. y ) ) ) |
57 |
|
coeq2 |
|- ( p = ( x ( .r ` P ) y ) -> ( H o. p ) = ( H o. ( x ( .r ` P ) y ) ) ) |
58 |
13
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. Ring ) |
59 |
3 9 58 54 55
|
ringcld |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` P ) y ) e. B ) |
60 |
53 59
|
coexd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. ( x ( .r ` P ) y ) ) e. _V ) |
61 |
4 57 59 60
|
fvmptd3 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( H o. ( x ( .r ` P ) y ) ) ) |
62 |
|
coeq2 |
|- ( p = x -> ( H o. p ) = ( H o. x ) ) |
63 |
53 54
|
coexd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. x ) e. _V ) |
64 |
4 62 54 63
|
fvmptd3 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` x ) = ( H o. x ) ) |
65 |
|
coeq2 |
|- ( p = y -> ( H o. p ) = ( H o. y ) ) |
66 |
53 55
|
coexd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. y ) e. _V ) |
67 |
4 65 55 66
|
fvmptd3 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` y ) = ( H o. y ) ) |
68 |
64 67
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` Q ) ( F ` y ) ) = ( ( H o. x ) ( .r ` Q ) ( H o. y ) ) ) |
69 |
56 61 68
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` Q ) ( F ` y ) ) ) |
70 |
|
eqid |
|- ( +g ` P ) = ( +g ` P ) |
71 |
|
eqid |
|- ( +g ` Q ) = ( +g ` Q ) |
72 |
|
ghmmhm |
|- ( H e. ( R GrpHom S ) -> H e. ( R MndHom S ) ) |
73 |
6 37 72
|
3syl |
|- ( ph -> H e. ( R MndHom S ) ) |
74 |
73
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. B ) -> H e. ( R MndHom S ) ) |
75 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ p e. B ) -> p e. B ) |
76 |
1 2 3 52 74 75
|
mhmcopsr |
|- ( ( ph /\ p e. B ) -> ( H o. p ) e. ( Base ` Q ) ) |
77 |
76 4
|
fmptd |
|- ( ph -> F : B --> ( Base ` Q ) ) |
78 |
53 37 72
|
3syl |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> H e. ( R MndHom S ) ) |
79 |
1 2 3 52 70 71 78 54 55
|
mhmcoaddpsr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. ( x ( +g ` P ) y ) ) = ( ( H o. x ) ( +g ` Q ) ( H o. y ) ) ) |
80 |
|
coeq2 |
|- ( p = ( x ( +g ` P ) y ) -> ( H o. p ) = ( H o. ( x ( +g ` P ) y ) ) ) |
81 |
58
|
ringgrpd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. Grp ) |
82 |
3 70 81 54 55
|
grpcld |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` P ) y ) e. B ) |
83 |
53 82
|
coexd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. ( x ( +g ` P ) y ) ) e. _V ) |
84 |
4 80 82 83
|
fvmptd3 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` P ) y ) ) = ( H o. ( x ( +g ` P ) y ) ) ) |
85 |
64 67
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` Q ) ( F ` y ) ) = ( ( H o. x ) ( +g ` Q ) ( H o. y ) ) ) |
86 |
79 84 85
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` P ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` Q ) ( F ` y ) ) ) |
87 |
3 7 8 9 10 13 16 51 69 52 70 71 77 86
|
isrhmd |
|- ( ph -> F e. ( P RingHom Q ) ) |