Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brric |
|- ( R ~=r S <-> ( R RingIso S ) =/= (/) ) |
2 |
|
brric |
|- ( S ~=r T <-> ( S RingIso T ) =/= (/) ) |
3 |
|
n0 |
|- ( ( R RingIso S ) =/= (/) <-> E. f f e. ( R RingIso S ) ) |
4 |
|
n0 |
|- ( ( S RingIso T ) =/= (/) <-> E. g g e. ( S RingIso T ) ) |
5 |
|
exdistrv |
|- ( E. f E. g ( f e. ( R RingIso S ) /\ g e. ( S RingIso T ) ) <-> ( E. f f e. ( R RingIso S ) /\ E. g g e. ( S RingIso T ) ) ) |
6 |
|
rimco |
|- ( ( g e. ( S RingIso T ) /\ f e. ( R RingIso S ) ) -> ( g o. f ) e. ( R RingIso T ) ) |
7 |
|
brrici |
|- ( ( g o. f ) e. ( R RingIso T ) -> R ~=r T ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( ( g e. ( S RingIso T ) /\ f e. ( R RingIso S ) ) -> R ~=r T ) |
9 |
8
|
ancoms |
|- ( ( f e. ( R RingIso S ) /\ g e. ( S RingIso T ) ) -> R ~=r T ) |
10 |
9
|
exlimivv |
|- ( E. f E. g ( f e. ( R RingIso S ) /\ g e. ( S RingIso T ) ) -> R ~=r T ) |
11 |
5 10
|
sylbir |
|- ( ( E. f f e. ( R RingIso S ) /\ E. g g e. ( S RingIso T ) ) -> R ~=r T ) |
12 |
3 4 11
|
syl2anb |
|- ( ( ( R RingIso S ) =/= (/) /\ ( S RingIso T ) =/= (/) ) -> R ~=r T ) |
13 |
1 2 12
|
syl2anb |
|- ( ( R ~=r S /\ S ~=r T ) -> R ~=r T ) |