Theorem rimco

Description: The composition of ring isomorphisms is a ring isomorphism. (Contributed by SN, 17-Jan-2025)

	Ref	Expression
Assertion	rimco	|- ( ( F e. ( S RingIso T ) /\ G e. ( R RingIso S ) ) -> ( F o. G ) e. ( R RingIso T ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrim0	|- ( F e. ( S RingIso T ) <-> ( F e. ( S RingHom T ) /\ `' F e. ( T RingHom S ) ) )
2		isrim0	|- ( G e. ( R RingIso S ) <-> ( G e. ( R RingHom S ) /\ `' G e. ( S RingHom R ) ) )
3		rhmco	|- ( ( F e. ( S RingHom T ) /\ G e. ( R RingHom S ) ) -> ( F o. G ) e. ( R RingHom T ) )
4		cnvco	|- `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
5		rhmco	|- ( ( `' G e. ( S RingHom R ) /\ `' F e. ( T RingHom S ) ) -> ( `' G o. `' F ) e. ( T RingHom R ) )
6	5	ancoms	|- ( ( `' F e. ( T RingHom S ) /\ `' G e. ( S RingHom R ) ) -> ( `' G o. `' F ) e. ( T RingHom R ) )
7	4 6	eqeltrid	|- ( ( `' F e. ( T RingHom S ) /\ `' G e. ( S RingHom R ) ) -> `' ( F o. G ) e. ( T RingHom R ) )
8	3 7	anim12i	|- ( ( ( F e. ( S RingHom T ) /\ G e. ( R RingHom S ) ) /\ ( `' F e. ( T RingHom S ) /\ `' G e. ( S RingHom R ) ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( R RingHom T ) /\ `' ( F o. G ) e. ( T RingHom R ) ) )
9	8	an4s	|- ( ( ( F e. ( S RingHom T ) /\ `' F e. ( T RingHom S ) ) /\ ( G e. ( R RingHom S ) /\ `' G e. ( S RingHom R ) ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( R RingHom T ) /\ `' ( F o. G ) e. ( T RingHom R ) ) )
10	1 2 9	syl2anb	|- ( ( F e. ( S RingIso T ) /\ G e. ( R RingIso S ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( R RingHom T ) /\ `' ( F o. G ) e. ( T RingHom R ) ) )
11		isrim0	|- ( ( F o. G ) e. ( R RingIso T ) <-> ( ( F o. G ) e. ( R RingHom T ) /\ `' ( F o. G ) e. ( T RingHom R ) ) )
12	10 11	sylibr	|- ( ( F e. ( S RingIso T ) /\ G e. ( R RingIso S ) ) -> ( F o. G ) e. ( R RingIso T ) )