Theorem ringcomlem

Description: Lemma for ringcom . This (formerly) part of the proof for ringcom is also applicable for semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring), see srgcom4lem . (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014) Variant of rglcom4d for rings. (Revised by AV, 5-Feb-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	ringacl.b	|- B = ( Base ` R )
	ringacl.p	|- .+ = ( +g ` R )
Assertion	ringcomlem	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringacl.b	|- B = ( Base ` R )
2		ringacl.p	|- .+ = ( +g ` R )
3		eqid	|- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4	1 2 3	ringdir	|- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) .+ ( y ( .r ` R ) z ) ) )
5	4	ralrimivvva	|- ( R e. Ring -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .+ y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) .+ ( y ( .r ` R ) z ) ) )
6	5	3ad2ant1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .+ y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) .+ ( y ( .r ` R ) z ) ) )
7		eqid	|- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8	1 7	ringidcl	|- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
9	8	3ad2ant1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( 1r ` R ) e. B )
10	1 3 7	ringlidm	|- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x )
11	10	ralrimiva	|- ( R e. Ring -> A. x e. B ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x )
12	11	3ad2ant1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> A. x e. B ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x )
13		simp2	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
14	1 2	ringacl	|- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
15	14	3expb	|- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
16	15	ralrimivva	|- ( R e. Ring -> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) e. B )
17	16	3ad2ant1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) e. B )
18	1 2 3	ringdi	|- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( y .+ z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) .+ ( x ( .r ` R ) z ) ) )
19	18	ralrimivvva	|- ( R e. Ring -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x ( .r ` R ) ( y .+ z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) .+ ( x ( .r ` R ) z ) ) )
20	19	3ad2ant1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x ( .r ` R ) ( y .+ z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) .+ ( x ( .r ` R ) z ) ) )
21		simp3	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
22	6 9 12 13 17 20 21	rglcom4d	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )