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Theorem ringlghm

Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015)

Ref Expression
Hypotheses ringlghm.b 
|- B = ( Base ` R )
ringlghm.t 
|- .x. = ( .r ` R )
Assertion ringlghm 
|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R GrpHom R ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ringlghm.b 
 |-  B = ( Base ` R )
2 ringlghm.t 
 |-  .x. = ( .r ` R )
3 eqid 
 |-  ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4 ringgrp 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Grp )
5 4 adantr 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. Grp )
6 1 2 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
7 6 3expa 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
8 7 fmpttd 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B )
9 3anass 
 |-  ( ( X e. B /\ y e. B /\ z e. B ) <-> ( X e. B /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) )
10 1 3 2 ringdi 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
11 9 10 sylan2br 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
12 11 anassrs 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
13 1 3 ringacl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
14 13 3expb 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
15 14 adantlr 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
16 oveq2 
 |-  ( x = ( y ( +g ` R ) z ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) )
17 eqid 
 |-  ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) = ( x e. B |-> ( X .x. x ) )
18 ovex 
 |-  ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) e. _V
19 16 17 18 fvmpt 
 |-  ( ( y ( +g ` R ) z ) e. B -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) )
20 15 19 syl 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) )
21 oveq2 
 |-  ( x = y -> ( X .x. x ) = ( X .x. y ) )
22 ovex 
 |-  ( X .x. y ) e. _V
23 21 17 22 fvmpt 
 |-  ( y e. B -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` y ) = ( X .x. y ) )
24 oveq2 
 |-  ( x = z -> ( X .x. x ) = ( X .x. z ) )
25 ovex 
 |-  ( X .x. z ) e. _V
26 24 17 25 fvmpt 
 |-  ( z e. B -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` z ) = ( X .x. z ) )
27 23 26 oveqan12d 
 |-  ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
28 27 adantl 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
29 12 20 28 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` z ) ) )
30 1 1 3 3 5 5 8 29 isghmd 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R GrpHom R ) )