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Theorem ringrghm

Description: Right-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015)

Ref Expression
Hypotheses ringlghm.b 
|- B = ( Base ` R )
ringlghm.t 
|- .x. = ( .r ` R )
Assertion ringrghm 
|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R GrpHom R ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ringlghm.b 
 |-  B = ( Base ` R )
2 ringlghm.t 
 |-  .x. = ( .r ` R )
3 eqid 
 |-  ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4 ringgrp 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Grp )
5 4 adantr 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. Grp )
6 1 2 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ X e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
7 6 3expa 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ x e. B ) /\ X e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
8 7 an32s 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
9 8 fmpttd 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B )
10 df-3an 
 |-  ( ( y e. B /\ z e. B /\ X e. B ) <-> ( ( y e. B /\ z e. B ) /\ X e. B ) )
11 1 3 2 ringdir 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( y e. B /\ z e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) )
12 10 11 sylan2br 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. B /\ z e. B ) /\ X e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) )
13 12 anass1rs 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) )
14 1 3 ringacl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
15 14 3expb 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
16 15 adantlr 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
17 oveq1 
 |-  ( x = ( y ( +g ` R ) z ) -> ( x .x. X ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) )
18 eqid 
 |-  ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) = ( x e. B |-> ( x .x. X ) )
19 ovex 
 |-  ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) e. _V
20 17 18 19 fvmpt 
 |-  ( ( y ( +g ` R ) z ) e. B -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) )
21 16 20 syl 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) )
22 oveq1 
 |-  ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
23 ovex 
 |-  ( y .x. X ) e. _V
24 22 18 23 fvmpt 
 |-  ( y e. B -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) = ( y .x. X ) )
25 oveq1 
 |-  ( x = z -> ( x .x. X ) = ( z .x. X ) )
26 ovex 
 |-  ( z .x. X ) e. _V
27 25 18 26 fvmpt 
 |-  ( z e. B -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) = ( z .x. X ) )
28 24 27 oveqan12d 
 |-  ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) )
29 28 adantl 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) )
30 13 21 29 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) ) )
31 1 1 3 3 5 5 9 30 isghmd 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R GrpHom R ) )