Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rmspecnonsq |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ []NN ) ) |
2 |
1
|
adantr |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ []NN ) ) |
3 |
|
pell14qrval |
|- ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ []NN ) -> ( Pell14QR ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) = { a e. RR | E. c e. NN0 E. d e. ZZ ( a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) /\ ( ( c ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( d ^ 2 ) ) ) = 1 ) } ) |
4 |
2 3
|
syl |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( Pell14QR ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) = { a e. RR | E. c e. NN0 E. d e. ZZ ( a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) /\ ( ( c ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( d ^ 2 ) ) ) = 1 ) } ) |
5 |
|
rabssab |
|- { a e. RR | E. c e. NN0 E. d e. ZZ ( a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) /\ ( ( c ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( d ^ 2 ) ) ) = 1 ) } C_ { a | E. c e. NN0 E. d e. ZZ ( a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) /\ ( ( c ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( d ^ 2 ) ) ) = 1 ) } |
6 |
|
simpl |
|- ( ( a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) /\ ( ( c ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( d ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) ) |
7 |
6
|
reximi |
|- ( E. d e. ZZ ( a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) /\ ( ( c ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( d ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> E. d e. ZZ a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) ) |
8 |
7
|
reximi |
|- ( E. c e. NN0 E. d e. ZZ ( a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) /\ ( ( c ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( d ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> E. c e. NN0 E. d e. ZZ a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) ) |
9 |
8
|
ss2abi |
|- { a | E. c e. NN0 E. d e. ZZ ( a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) /\ ( ( c ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( d ^ 2 ) ) ) = 1 ) } C_ { a | E. c e. NN0 E. d e. ZZ a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) } |
10 |
5 9
|
sstri |
|- { a e. RR | E. c e. NN0 E. d e. ZZ ( a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) /\ ( ( c ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( d ^ 2 ) ) ) = 1 ) } C_ { a | E. c e. NN0 E. d e. ZZ a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) } |
11 |
4 10
|
eqsstrdi |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( Pell14QR ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) C_ { a | E. c e. NN0 E. d e. ZZ a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) } ) |
12 |
|
simpr |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ ) |
13 |
|
rmspecfund |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) = ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) = ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ) |
15 |
14
|
eqcomd |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) = ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) |
16 |
15
|
oveq1d |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) = ( ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ N ) ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( a = N -> ( ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ a ) = ( ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ N ) ) |
18 |
17
|
rspceeqv |
|- ( ( N e. ZZ /\ ( ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) = ( ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ N ) ) -> E. a e. ZZ ( ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) = ( ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ a ) ) |
19 |
12 16 18
|
syl2anc |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> E. a e. ZZ ( ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) = ( ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ a ) ) |
20 |
|
pellfund14b |
|- ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ( NN \ []NN ) -> ( ( ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) e. ( Pell14QR ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) <-> E. a e. ZZ ( ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) = ( ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ a ) ) ) |
21 |
2 20
|
syl |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) e. ( Pell14QR ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) <-> E. a e. ZZ ( ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) = ( ( PellFund ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ^ a ) ) ) |
22 |
19 21
|
mpbird |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) e. ( Pell14QR ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) |
23 |
11 22
|
sseldd |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A + ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ N ) e. { a | E. c e. NN0 E. d e. ZZ a = ( c + ( ( sqrt ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. d ) ) } ) |