Theorem rr19.28v

Description: Restricted quantifier version of Theorem 19.28 of Margaris p. 90. We don't need the nonempty class condition of r19.28zv when there is an outer quantifier. (Contributed by NM, 29-Oct-2012)

	Ref	Expression
Assertion	rr19.28v	|- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl	|- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
2	1	ralimi	|- ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. y e. A ph )
3		biidd	|- ( y = x -> ( ph <-> ph ) )
4	3	rspcv	|- ( x e. A -> ( A. y e. A ph -> ph ) )
5	2 4	syl5	|- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> ph ) )
6		simpr	|- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
7	6	ralimi	|- ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. y e. A ps )
8	5 7	jca2	|- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
9	8	ralimia	|- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) )
10		r19.28v	|- ( ( ph /\ A. y e. A ps ) -> A. y e. A ( ph /\ ps ) )
11	10	ralimi	|- ( A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) -> A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) )
12	9 11	impbii	|- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) )