Theorem rspsbc2

Description: rspsbc with two quantifying variables. This proof is rspsbc2VD automatically translated and minimized. (Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	rspsbc2	|- ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd	|- ( A e. B -> ( C e. D -> C e. D ) )
2		rspsbc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. A / x ]. A. y e. D ph ) )
3	2	a1d	|- ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. A / x ]. A. y e. D ph ) ) )
4		sbcralg	|- ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y e. D ph <-> A. y e. D [. A / x ]. ph ) )
5	4	biimpd	|- ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y e. D ph -> A. y e. D [. A / x ]. ph ) )
6	3 5	syl6d	|- ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. y e. D [. A / x ]. ph ) ) )
7		rspsbc	|- ( C e. D -> ( A. y e. D [. A / x ]. ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) )
8	1 6 7	syl10	|- ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) )