Theorem sbabel

Description: Theorem to move a substitution in and out of a class abstraction. (Contributed by NM, 27-Sep-2003) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2016) (Proof shortened by Wolf Lammen, 28-Oct-2024)

	Ref	Expression
Hypothesis	sbabel.1	|- F/_ x A
Assertion	sbabel	|- ( [ y / x ] { z | ph } e. A <-> { z | [ y / x ] ph } e. A )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbabel.1	|- F/_ x A
2		clabel	|- ( { z | ph } e. A <-> E. v ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> ph ) ) )
3	2	sbbii	|- ( [ y / x ] { z | ph } e. A <-> [ y / x ] E. v ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> ph ) ) )
4		sbex	|- ( [ y / x ] E. v ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> ph ) ) <-> E. v [ y / x ] ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> ph ) ) )
5		sban	|- ( [ y / x ] ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> ph ) ) <-> ( [ y / x ] v e. A /\ [ y / x ] A. z ( z e. v <-> ph ) ) )
6	1	nfcri	|- F/ x v e. A
7	6	sbf	|- ( [ y / x ] v e. A <-> v e. A )
8		sbv	|- ( [ y / x ] z e. v <-> z e. v )
9	8	sbrbis	|- ( [ y / x ] ( z e. v <-> ph ) <-> ( z e. v <-> [ y / x ] ph ) )
10	9	sbalv	|- ( [ y / x ] A. z ( z e. v <-> ph ) <-> A. z ( z e. v <-> [ y / x ] ph ) )
11	7 10	anbi12i	|- ( ( [ y / x ] v e. A /\ [ y / x ] A. z ( z e. v <-> ph ) ) <-> ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> [ y / x ] ph ) ) )
12	5 11	bitri	|- ( [ y / x ] ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> ph ) ) <-> ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> [ y / x ] ph ) ) )
13	12	exbii	|- ( E. v [ y / x ] ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> ph ) ) <-> E. v ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> [ y / x ] ph ) ) )
14	3 4 13	3bitri	|- ( [ y / x ] { z | ph } e. A <-> E. v ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> [ y / x ] ph ) ) )
15		clabel	|- ( { z | [ y / x ] ph } e. A <-> E. v ( v e. A /\ A. z ( z e. v <-> [ y / x ] ph ) ) )
16	14 15	bitr4i	|- ( [ y / x ] { z | ph } e. A <-> { z | [ y / x ] ph } e. A )