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Theorem sbcssgVD

Description: Virtual deduction proof of sbcssg . The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. sbcssg is sbcssgVD without virtual deductions and was automatically derived from sbcssgVD .

1:: |- (. A e. B ->. A e. B ).
2:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) ).
3:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. D <-> y e. [_ A / x ]_ D ) ).
4:2,3: |- (. A e. B ->. ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
5:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) ).
6:4,5: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
7:6: |- (. A e. B ->. A. y ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
8:7: |- (. A e. B ->. ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
9:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) ).
10:8,9: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
11:: |- ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) )
110:11: |- A. x ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) )
12:1,110: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) ).
13:10,12: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
14:: |- ( [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) )
15:13,14: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) ).
qed:15: |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) )
(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion sbcssgVD 
|- ( A e. B -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 idn1 
 |-  (. A e. B ->. A e. B ).
2 sbcel2 
 |-  ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C )
3 2 a1i 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) )
4 1 3 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) ).
5 sbcel2 
 |-  ( [. A / x ]. y e. D <-> y e. [_ A / x ]_ D )
6 5 a1i 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. y e. D <-> y e. [_ A / x ]_ D ) )
7 1 6 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. D <-> y e. [_ A / x ]_ D ) ).
8 imbi12 
 |-  ( ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) -> ( ( [. A / x ]. y e. D <-> y e. [_ A / x ]_ D ) -> ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
9 4 7 8 e11 
 |-  (. A e. B ->. ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
10 sbcimg 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) )
11 1 10 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) ).
12 bibi1 
 |-  ( ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) -> ( ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) <-> ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
13 12 biimprcd 
 |-  ( ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) -> ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
14 9 11 13 e11 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
15 14 gen11 
 |-  (. A e. B ->. A. y ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
16 albi 
 |-  ( A. y ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) )
17 15 16 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
18 sbcal 
 |-  ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) )
19 18 a1i 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) )
20 1 19 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) ).
21 bibi1 
 |-  ( ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) -> ( ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) <-> ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
22 21 biimprcd 
 |-  ( ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
23 17 20 22 e11 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
24 df-ss 
 |-  ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) )
25 24 ax-gen 
 |-  A. x ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) )
26 sbcbi 
 |-  ( A e. B -> ( A. x ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) ) -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) ) )
27 1 25 26 e10 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) ).
28 bibi1 
 |-  ( ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) -> ( ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) <-> ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
29 28 biimprcd 
 |-  ( ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
30 23 27 29 e11 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
31 df-ss 
 |-  ( [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) )
32 biantr 
 |-  ( ( ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) /\ ( [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) )
33 32 ex 
 |-  ( ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( ( [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) ) )
34 30 31 33 e10 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) ).
35 34 in1 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) )