Theorem sinadd

Description: Addition formula for sine. Equation 14 of Gleason p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014)

	Ref	Expression
Assertion	sinadd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2		sinval	|- ( ( A + B ) e. CC -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
3	1 2	syl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
4		2cn	|- 2 e. CC
5	4	a1i	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
6		ax-icn	|- _i e. CC
7	6	a1i	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
8		coscl	|- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
9	8	adantr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` A ) e. CC )
10		sincl	|- ( B e. CC -> ( sin ` B ) e. CC )
11	10	adantl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` B ) e. CC )
12	9 11	mulcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
13		sincl	|- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
14	13	adantr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` A ) e. CC )
15		coscl	|- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
16	15	adantl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` B ) e. CC )
17	14 16	mulcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
18	12 17	addcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) e. CC )
19	5 7 18	mulassd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) ) )
20	7 12 17	adddid	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) )
21	7 9 11	mul12d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
22	14 16	mulcomd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) )
23	22	oveq2d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( _i x. ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) )
24	7 16 14	mul12d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
25	23 24	eqtrd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
26	21 25	oveq12d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
27	20 26	eqtrd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
28	27	oveq2d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
29	19 28	eqtrd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
30		mulcl	|- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
31	6 11 30	sylancr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
32	9 31	mulcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) e. CC )
33		mulcl	|- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
34	6 14 33	sylancr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
35	16 34	mulcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
36	32 35	addcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
37		mulcl	|- ( ( 2 e. CC /\ ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) e. CC )
38	4 36 37	sylancr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) e. CC )
39		2mulicn	|- ( 2 x. _i ) e. CC
40	39	a1i	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. _i ) e. CC )
41		2muline0	|- ( 2 x. _i ) =/= 0
42	41	a1i	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. _i ) =/= 0 )
43	38 40 18 42	divmuld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) <-> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
44	29 43	mpbird	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
45	9 16	mulcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
46	31 34	mulcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
47	45 46	addcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
48	47 36 36	pnncand	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) - ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
49		adddi	|- ( ( _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
50	6 49	mp3an1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
51	50	fveq2d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) )
52		simpl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
53		mulcl	|- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
54	6 52 53	sylancr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
55		simpr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
56		mulcl	|- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
57	6 55 56	sylancr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
58		efadd	|- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
59	54 57 58	syl2anc	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
60		efival	|- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
61		efival	|- ( B e. CC -> ( exp ` ( _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
62	60 61	oveqan12d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
63	9 34 16 31	muladdd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
64	62 63	eqtrd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
65	51 59 64	3eqtrd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
66		negicn	|- -u _i e. CC
67		adddi	|- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
68	66 67	mp3an1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
69	68	fveq2d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) )
70		mulcl	|- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
71	66 52 70	sylancr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
72		mulcl	|- ( ( -u _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
73	66 55 72	sylancr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
74		efadd	|- ( ( ( -u _i x. A ) e. CC /\ ( -u _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
75	71 73 74	syl2anc	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
76		efmival	|- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
77		efmival	|- ( B e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
78	76 77	oveqan12d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
79	9 34 16 31	mulsubd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
80	78 79	eqtrd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
81	69 75 80	3eqtrd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
82	65 81	oveq12d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) - ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
83	36	2timesd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
84	48 82 83	3eqtr4d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
85	84	oveq1d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
86	17 12	addcomd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
87	44 85 86	3eqtr4d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
88	3 87	eqtrd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )