Theorem sletri3

Description: Trichotomy law for surreal less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021)

	Ref	Expression
Assertion	sletri3	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A = B <-> ( A <_s B /\ B <_s A ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slttrieq2	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A = B <-> ( -. A
2		slenlt	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A <_s B <-> -. B
3		slenlt	|- ( ( B e. No /\ A e. No ) -> ( B <_s A <-> -. A
4	3	ancoms	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( B <_s A <-> -. A
5	2 4	anbi12d	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( ( A <_s B /\ B <_s A ) <-> ( -. B
6		ancom	|- ( ( -. B ( -. A
7	5 6	bitrdi	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( ( A <_s B /\ B <_s A ) <-> ( -. A
8	1 7	bitr4d	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A = B <-> ( A <_s B /\ B <_s A ) ) )