Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
1onn |
|- 1o e. _om |
2 |
|
ensn1g |
|- ( A e. _V -> { A } ~~ 1o ) |
3 |
|
breq2 |
|- ( x = 1o -> ( { A } ~~ x <-> { A } ~~ 1o ) ) |
4 |
3
|
rspcev |
|- ( ( 1o e. _om /\ { A } ~~ 1o ) -> E. x e. _om { A } ~~ x ) |
5 |
1 2 4
|
sylancr |
|- ( A e. _V -> E. x e. _om { A } ~~ x ) |
6 |
|
isfi |
|- ( { A } e. Fin <-> E. x e. _om { A } ~~ x ) |
7 |
5 6
|
sylibr |
|- ( A e. _V -> { A } e. Fin ) |
8 |
|
snprc |
|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) ) |
9 |
|
0fi |
|- (/) e. Fin |
10 |
|
eleq1 |
|- ( { A } = (/) -> ( { A } e. Fin <-> (/) e. Fin ) ) |
11 |
9 10
|
mpbiri |
|- ( { A } = (/) -> { A } e. Fin ) |
12 |
8 11
|
sylbi |
|- ( -. A e. _V -> { A } e. Fin ) |
13 |
7 12
|
pm2.61i |
|- { A } e. Fin |