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Theorem soinxp

Description: Intersection of total order with Cartesian product of its field. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2014)

Ref Expression
Assertion soinxp 
|- ( R Or A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Or A )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 poinxp 
 |-  ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )
2 brinxp 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
3 biidd 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x = y <-> x = y ) )
4 brinxp 
 |-  ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( y R x <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
5 4 ancoms 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( y R x <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
6 2 3 5 3orbi123d 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y \/ x = y \/ y ( R i^i ( A X. A ) ) x ) ) )
7 6 ralbidva 
 |-  ( x e. A -> ( A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. y e. A ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y \/ x = y \/ y ( R i^i ( A X. A ) ) x ) ) )
8 7 ralbiia 
 |-  ( A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y \/ x = y \/ y ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
9 1 8 anbi12i 
 |-  ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) <-> ( ( R i^i ( A X. A ) ) Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y \/ x = y \/ y ( R i^i ( A X. A ) ) x ) ) )
10 df-so 
 |-  ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
11 df-so 
 |-  ( ( R i^i ( A X. A ) ) Or A <-> ( ( R i^i ( A X. A ) ) Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y \/ x = y \/ y ( R i^i ( A X. A ) ) x ) ) )
12 9 10 11 3bitr4i 
 |-  ( R Or A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Or A )