Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
srgbinom.s |
|- S = ( Base ` R ) |
2 |
|
srgbinom.m |
|- .X. = ( .r ` R ) |
3 |
|
srgbinom.t |
|- .x. = ( .g ` R ) |
4 |
|
srgbinom.a |
|- .+ = ( +g ` R ) |
5 |
|
srgbinom.g |
|- G = ( mulGrp ` R ) |
6 |
|
srgbinom.e |
|- .^ = ( .g ` G ) |
7 |
|
srgbinomlem.r |
|- ( ph -> R e. SRing ) |
8 |
|
srgbinomlem.a |
|- ( ph -> A e. S ) |
9 |
|
srgbinomlem.b |
|- ( ph -> B e. S ) |
10 |
|
srgbinomlem.c |
|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) |
11 |
|
srgbinomlem.n |
|- ( ph -> N e. NN0 ) |
12 |
|
srgbinomlem.i |
|- ( ps -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
13 |
12
|
oveq1d |
|- ( ps -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) = ( ( R gsum ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .X. B ) ) |
14 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
15 |
|
ovexd |
|- ( ph -> ( 0 ... N ) e. _V ) |
16 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ph ) |
17 |
|
elfzelz |
|- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ ) |
18 |
|
bccl |
|- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 ) |
19 |
11 17 18
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 ) |
20 |
|
fznn0sub |
|- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 ) |
21 |
20
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - k ) e. NN0 ) |
22 |
|
elfznn0 |
|- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 ) |
23 |
22
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 ) |
24 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
srgbinomlem2 |
|- ( ( ph /\ ( ( N _C k ) e. NN0 /\ ( N - k ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
25 |
16 19 21 23 24
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
26 |
|
eqid |
|- ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) |
27 |
|
fzfid |
|- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin ) |
28 |
|
ovexd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. _V ) |
29 |
|
fvexd |
|- ( ph -> ( 0g ` R ) e. _V ) |
30 |
26 27 28 29
|
fsuppmptdm |
|- ( ph -> ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
31 |
1 14 4 2 7 15 9 25 30
|
srgsummulcr |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) ) ) = ( ( R gsum ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .X. B ) ) |
32 |
|
srgcmn |
|- ( R e. SRing -> R e. CMnd ) |
33 |
7 32
|
syl |
|- ( ph -> R e. CMnd ) |
34 |
|
1z |
|- 1 e. ZZ |
35 |
34
|
a1i |
|- ( ph -> 1 e. ZZ ) |
36 |
|
0zd |
|- ( ph -> 0 e. ZZ ) |
37 |
11
|
nn0zd |
|- ( ph -> N e. ZZ ) |
38 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> R e. SRing ) |
39 |
9
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B e. S ) |
40 |
1 2
|
srgcl |
|- ( ( R e. SRing /\ ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S /\ B e. S ) -> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) e. S ) |
41 |
38 25 39 40
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) e. S ) |
42 |
|
oveq2 |
|- ( k = ( j - 1 ) -> ( N _C k ) = ( N _C ( j - 1 ) ) ) |
43 |
|
oveq2 |
|- ( k = ( j - 1 ) -> ( N - k ) = ( N - ( j - 1 ) ) ) |
44 |
43
|
oveq1d |
|- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( N - k ) .^ A ) = ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) ) |
45 |
|
oveq1 |
|- ( k = ( j - 1 ) -> ( k .^ B ) = ( ( j - 1 ) .^ B ) ) |
46 |
44 45
|
oveq12d |
|- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) |
47 |
42 46
|
oveq12d |
|- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) ) |
48 |
47
|
oveq1d |
|- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) ) |
49 |
1 14 33 35 36 37 41 48
|
gsummptshft |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) ) ) = ( R gsum ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) ) ) ) |
50 |
11
|
nn0cnd |
|- ( ph -> N e. CC ) |
51 |
50
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. CC ) |
52 |
|
elfzelz |
|- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> j e. ZZ ) |
53 |
52
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> j e. ZZ ) |
54 |
53
|
zcnd |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> j e. CC ) |
55 |
|
1cnd |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> 1 e. CC ) |
56 |
51 54 55
|
subsub3d |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N - ( j - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - j ) ) |
57 |
56
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) = ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) |
58 |
57
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) |
59 |
58
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) ) |
60 |
59
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) ) |
61 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> R e. SRing ) |
62 |
|
peano2zm |
|- ( j e. ZZ -> ( j - 1 ) e. ZZ ) |
63 |
52 62
|
syl |
|- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. ZZ ) |
64 |
|
bccl |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( j - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( j - 1 ) ) e. NN0 ) |
65 |
11 63 64
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( j - 1 ) ) e. NN0 ) |
66 |
5 1
|
mgpbas |
|- S = ( Base ` G ) |
67 |
5
|
srgmgp |
|- ( R e. SRing -> G e. Mnd ) |
68 |
7 67
|
syl |
|- ( ph -> G e. Mnd ) |
69 |
68
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> G e. Mnd ) |
70 |
|
0p1e1 |
|- ( 0 + 1 ) = 1 |
71 |
70
|
oveq1i |
|- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) |
72 |
71
|
eleq2i |
|- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) <-> j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |
73 |
|
fznn0sub |
|- ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - j ) e. NN0 ) |
74 |
73
|
a1i |
|- ( ph -> ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - j ) e. NN0 ) ) |
75 |
72 74
|
biimtrid |
|- ( ph -> ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - j ) e. NN0 ) ) |
76 |
75
|
imp |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - j ) e. NN0 ) |
77 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> A e. S ) |
78 |
66 6 69 76 77
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) e. S ) |
79 |
|
elfznn |
|- ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> j e. NN ) |
80 |
|
nnm1nn0 |
|- ( j e. NN -> ( j - 1 ) e. NN0 ) |
81 |
79 80
|
syl |
|- ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. NN0 ) |
82 |
72 81
|
sylbi |
|- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. NN0 ) |
83 |
82
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( j - 1 ) e. NN0 ) |
84 |
9
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. S ) |
85 |
66 6 69 83 84
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( j - 1 ) .^ B ) e. S ) |
86 |
1 3 2
|
srgmulgass |
|- ( ( R e. SRing /\ ( ( N _C ( j - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) e. S /\ ( ( j - 1 ) .^ B ) e. S ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) ) |
87 |
61 65 78 85 86
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) ) |
88 |
87
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) |
89 |
88
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) = ( ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) .X. B ) ) |
90 |
|
srgmnd |
|- ( R e. SRing -> R e. Mnd ) |
91 |
7 90
|
syl |
|- ( ph -> R e. Mnd ) |
92 |
91
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> R e. Mnd ) |
93 |
1 3 92 65 78
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) e. S ) |
94 |
1 2
|
srgass |
|- ( ( R e. SRing /\ ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) e. S /\ ( ( j - 1 ) .^ B ) e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) ) ) |
95 |
61 93 85 84 94
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) ) ) |
96 |
5 2
|
mgpplusg |
|- .X. = ( +g ` G ) |
97 |
66 6 96
|
mulgnn0p1 |
|- ( ( G e. Mnd /\ ( j - 1 ) e. NN0 /\ B e. S ) -> ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) = ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) ) |
98 |
97
|
eqcomd |
|- ( ( G e. Mnd /\ ( j - 1 ) e. NN0 /\ B e. S ) -> ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) = ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) ) |
99 |
69 83 84 98
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) = ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) ) |
100 |
99
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) ) ) |
101 |
52
|
zcnd |
|- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> j e. CC ) |
102 |
|
1cnd |
|- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> 1 e. CC ) |
103 |
101 102
|
npcand |
|- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( ( j - 1 ) + 1 ) = j ) |
104 |
103
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( j - 1 ) + 1 ) = j ) |
105 |
104
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) = ( j .^ B ) ) |
106 |
105
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) |
107 |
95 100 106
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) |
108 |
60 89 107
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) |
109 |
108
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) ) = ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) ) |
110 |
109
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( R gsum ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) ) ) = ( R gsum ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) ) ) |
111 |
71
|
mpteq1i |
|- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) |
112 |
|
oveq1 |
|- ( j = k -> ( j - 1 ) = ( k - 1 ) ) |
113 |
112
|
oveq2d |
|- ( j = k -> ( N _C ( j - 1 ) ) = ( N _C ( k - 1 ) ) ) |
114 |
|
oveq2 |
|- ( j = k -> ( ( N + 1 ) - j ) = ( ( N + 1 ) - k ) ) |
115 |
114
|
oveq1d |
|- ( j = k -> ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) = ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) |
116 |
113 115
|
oveq12d |
|- ( j = k -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) ) |
117 |
|
oveq1 |
|- ( j = k -> ( j .^ B ) = ( k .^ B ) ) |
118 |
116 117
|
oveq12d |
|- ( j = k -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) |
119 |
118
|
cbvmptv |
|- ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) = ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) |
120 |
111 119
|
eqtri |
|- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) = ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) |
121 |
120
|
oveq2i |
|- ( R gsum ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) ) = ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) |
122 |
|
fzfid |
|- ( ph -> ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. Fin ) |
123 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ph ) |
124 |
|
elfzelz |
|- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ ) |
125 |
|
peano2zm |
|- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ ) |
126 |
124 125
|
syl |
|- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ ) |
127 |
|
bccl |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) |
128 |
11 126 127
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) |
129 |
|
fznn0sub |
|- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 ) |
130 |
129
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 ) |
131 |
|
elfznn |
|- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN ) |
132 |
131
|
nnnn0d |
|- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 ) |
133 |
132
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 ) |
134 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
srgbinomlem2 |
|- ( ( ph /\ ( ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
135 |
123 128 130 133 134
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
136 |
135
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
137 |
1 33 122 136
|
gsummptcl |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S ) |
138 |
1 4 14
|
mndlid |
|- ( ( R e. Mnd /\ ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S ) -> ( ( 0g ` R ) .+ ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
139 |
91 137 138
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( 0g ` R ) .+ ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
140 |
|
0nn0 |
|- 0 e. NN0 |
141 |
140
|
a1i |
|- ( ph -> 0 e. NN0 ) |
142 |
|
id |
|- ( ph -> ph ) |
143 |
|
0z |
|- 0 e. ZZ |
144 |
143 34
|
pm3.2i |
|- ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) |
145 |
|
zsubcl |
|- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 - 1 ) e. ZZ ) |
146 |
144 145
|
mp1i |
|- ( ph -> ( 0 - 1 ) e. ZZ ) |
147 |
|
bccl |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( 0 - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) e. NN0 ) |
148 |
11 146 147
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) e. NN0 ) |
149 |
|
nn0cn |
|- ( N e. NN0 -> N e. CC ) |
150 |
|
peano2cn |
|- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC ) |
151 |
149 150
|
syl |
|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC ) |
152 |
151
|
subid1d |
|- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 0 ) = ( N + 1 ) ) |
153 |
|
peano2nn0 |
|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 ) |
154 |
152 153
|
eqeltrd |
|- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 0 ) e. NN0 ) |
155 |
11 154
|
syl |
|- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 0 ) e. NN0 ) |
156 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
srgbinomlem2 |
|- ( ( ph /\ ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) - 0 ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) ) -> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S ) |
157 |
142 148 155 141 156
|
syl13anc |
|- ( ph -> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S ) |
158 |
|
oveq1 |
|- ( k = 0 -> ( k - 1 ) = ( 0 - 1 ) ) |
159 |
158
|
oveq2d |
|- ( k = 0 -> ( N _C ( k - 1 ) ) = ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) |
160 |
|
oveq2 |
|- ( k = 0 -> ( ( N + 1 ) - k ) = ( ( N + 1 ) - 0 ) ) |
161 |
160
|
oveq1d |
|- ( k = 0 -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) = ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) ) |
162 |
|
oveq1 |
|- ( k = 0 -> ( k .^ B ) = ( 0 .^ B ) ) |
163 |
161 162
|
oveq12d |
|- ( k = 0 -> ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) |
164 |
159 163
|
oveq12d |
|- ( k = 0 -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) ) |
165 |
1 164
|
gsumsn |
|- ( ( R e. Mnd /\ 0 e. NN0 /\ ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S ) -> ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) ) |
166 |
91 141 157 165
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) ) |
167 |
|
0lt1 |
|- 0 < 1 |
168 |
167
|
a1i |
|- ( ph -> 0 < 1 ) |
169 |
168 70
|
breqtrrdi |
|- ( ph -> 0 < ( 0 + 1 ) ) |
170 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
171 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
172 |
170 171 170
|
3pm3.2i |
|- ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ 0 e. RR ) |
173 |
|
ltsubadd |
|- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 0 - 1 ) < 0 <-> 0 < ( 0 + 1 ) ) ) |
174 |
172 173
|
mp1i |
|- ( ph -> ( ( 0 - 1 ) < 0 <-> 0 < ( 0 + 1 ) ) ) |
175 |
169 174
|
mpbird |
|- ( ph -> ( 0 - 1 ) < 0 ) |
176 |
175
|
orcd |
|- ( ph -> ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) ) ) |
177 |
|
bcval4 |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( 0 - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) ) ) -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 ) |
178 |
11 146 176 177
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 ) |
179 |
178
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) = ( 0 .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) ) |
180 |
66 6 68 155 8
|
mulgnn0cld |
|- ( ph -> ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) e. S ) |
181 |
66 6 68 141 9
|
mulgnn0cld |
|- ( ph -> ( 0 .^ B ) e. S ) |
182 |
1 2
|
srgcl |
|- ( ( R e. SRing /\ ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) e. S /\ ( 0 .^ B ) e. S ) -> ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) e. S ) |
183 |
7 180 181 182
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) e. S ) |
184 |
1 14 3
|
mulg0 |
|- ( ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) e. S -> ( 0 .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) = ( 0g ` R ) ) |
185 |
183 184
|
syl |
|- ( ph -> ( 0 .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) = ( 0g ` R ) ) |
186 |
166 179 185
|
3eqtrrd |
|- ( ph -> ( 0g ` R ) = ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
187 |
186
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( 0g ` R ) .+ ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
188 |
139 187
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
189 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> R e. SRing ) |
190 |
68
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> G e. Mnd ) |
191 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> A e. S ) |
192 |
66 6 190 130 191
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S ) |
193 |
9
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. S ) |
194 |
66 6 190 133 193
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k .^ B ) e. S ) |
195 |
1 3 2
|
srgmulgass |
|- ( ( R e. SRing /\ ( ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S /\ ( k .^ B ) e. S ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) |
196 |
189 128 192 194 195
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) |
197 |
196
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) |
198 |
197
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
199 |
11 153
|
syl |
|- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 ) |
200 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ph ) |
201 |
|
elfzelz |
|- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ ) |
202 |
201 125
|
syl |
|- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ ) |
203 |
11 202 127
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) |
204 |
|
fznn0sub |
|- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 ) |
205 |
204
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 ) |
206 |
|
elfznn0 |
|- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 ) |
207 |
206
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 ) |
208 |
200 203 205 207 134
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
209 |
1 4 33 199 208
|
gsummptfzsplitl |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
210 |
|
snfi |
|- { 0 } e. Fin |
211 |
210
|
a1i |
|- ( ph -> { 0 } e. Fin ) |
212 |
164
|
eleq1d |
|- ( k = 0 -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S <-> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S ) ) |
213 |
212
|
ralsng |
|- ( 0 e. NN0 -> ( A. k e. { 0 } ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S <-> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S ) ) |
214 |
140 213
|
ax-mp |
|- ( A. k e. { 0 } ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S <-> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S ) |
215 |
157 214
|
sylibr |
|- ( ph -> A. k e. { 0 } ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
216 |
1 33 211 215
|
gsummptcl |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S ) |
217 |
1 4
|
cmncom |
|- ( ( R e. CMnd /\ ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S /\ ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S ) -> ( ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
218 |
33 137 216 217
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
219 |
209 218
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
220 |
188 198 219
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
221 |
121 220
|
eqtrid |
|- ( ph -> ( R gsum ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
222 |
49 110 221
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) ) ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
223 |
31 222
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( R gsum ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .X. B ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
224 |
13 223
|
sylan9eqr |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |