Theorem ssconb

Description: Contraposition law for subsets. (Contributed by NM, 22-Mar-1998)

	Ref	Expression
Assertion	ssconb	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A C_ ( C \ B ) <-> B C_ ( C \ A ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel	|- ( A C_ C -> ( x e. A -> x e. C ) )
2		ssel	|- ( B C_ C -> ( x e. B -> x e. C ) )
3		pm5.1	|- ( ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) -> ( ( x e. A -> x e. C ) <-> ( x e. B -> x e. C ) ) )
4	1 2 3	syl2an	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> x e. C ) <-> ( x e. B -> x e. C ) ) )
5		con2b	|- ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> ( x e. B -> -. x e. A ) )
6	5	a1i	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> ( x e. B -> -. x e. A ) ) )
7	4 6	anbi12d	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. A -> -. x e. B ) ) <-> ( ( x e. B -> x e. C ) /\ ( x e. B -> -. x e. A ) ) ) )
8		jcab	|- ( ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. A -> -. x e. B ) ) )
9		jcab	|- ( ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) <-> ( ( x e. B -> x e. C ) /\ ( x e. B -> -. x e. A ) ) )
10	7 8 9	3bitr4g	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) <-> ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) ) )
11		eldif	|- ( x e. ( C \ B ) <-> ( x e. C /\ -. x e. B ) )
12	11	imbi2i	|- ( ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) )
13		eldif	|- ( x e. ( C \ A ) <-> ( x e. C /\ -. x e. A ) )
14	13	imbi2i	|- ( ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) <-> ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) )
15	10 12 14	3bitr4g	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) ) )
16	15	albidv	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A. x ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> A. x ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) ) )
17		dfss2	|- ( A C_ ( C \ B ) <-> A. x ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) )
18		dfss2	|- ( B C_ ( C \ A ) <-> A. x ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) )
19	16 17 18	3bitr4g	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A C_ ( C \ B ) <-> B C_ ( C \ A ) ) )