Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> S C_ ( M ... N ) ) |
2 |
|
simp3 |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> I e. ZZ ) |
3 |
|
simp1 |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> M e. ZZ ) |
4 |
2 3
|
ifcld |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ ) |
6 |
|
elfzelz |
|- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ ) |
8 |
4
|
zred |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> if ( I <_ M , I , M ) e. RR ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) e. RR ) |
10 |
|
zre |
|- ( M e. ZZ -> M e. RR ) |
11 |
10
|
3ad2ant1 |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> M e. RR ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. RR ) |
13 |
6
|
zred |
|- ( k e. ( M ... N ) -> k e. RR ) |
14 |
13
|
adantl |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. RR ) |
15 |
|
zre |
|- ( I e. ZZ -> I e. RR ) |
16 |
10 15
|
anim12i |
|- ( ( M e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ I e. RR ) ) |
17 |
16
|
ancomd |
|- ( ( M e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I e. RR /\ M e. RR ) ) |
18 |
17
|
3adant2 |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I e. RR /\ M e. RR ) ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( I e. RR /\ M e. RR ) ) |
20 |
|
min2 |
|- ( ( I e. RR /\ M e. RR ) -> if ( I <_ M , I , M ) <_ M ) |
21 |
19 20
|
syl |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) <_ M ) |
22 |
|
elfzle1 |
|- ( k e. ( M ... N ) -> M <_ k ) |
23 |
22
|
adantl |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> M <_ k ) |
24 |
9 12 14 21 23
|
letrd |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) <_ k ) |
25 |
|
eluz2 |
|- ( k e. ( ZZ>= ` if ( I <_ M , I , M ) ) <-> ( if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ if ( I <_ M , I , M ) <_ k ) ) |
26 |
5 7 24 25
|
syl3anbrc |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` if ( I <_ M , I , M ) ) ) |
27 |
|
simp2 |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> N e. ZZ ) |
28 |
27 2
|
ifcld |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ ) |
30 |
|
zre |
|- ( N e. ZZ -> N e. RR ) |
31 |
30
|
3ad2ant2 |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> N e. RR ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. RR ) |
33 |
28
|
zred |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. RR ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. RR ) |
35 |
|
elfzle2 |
|- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N ) |
36 |
35
|
adantl |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N ) |
37 |
30 15
|
anim12i |
|- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ I e. RR ) ) |
38 |
37
|
3adant1 |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ I e. RR ) ) |
39 |
38
|
ancomd |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I e. RR /\ N e. RR ) ) |
40 |
|
max2 |
|- ( ( I e. RR /\ N e. RR ) -> N <_ if ( I <_ N , N , I ) ) |
41 |
39 40
|
syl |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> N <_ if ( I <_ N , N , I ) ) |
42 |
41
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> N <_ if ( I <_ N , N , I ) ) |
43 |
14 32 34 36 42
|
letrd |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ if ( I <_ N , N , I ) ) |
44 |
|
eluz2 |
|- ( if ( I <_ N , N , I ) e. ( ZZ>= ` k ) <-> ( k e. ZZ /\ if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ /\ k <_ if ( I <_ N , N , I ) ) ) |
45 |
7 29 43 44
|
syl3anbrc |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. ( ZZ>= ` k ) ) |
46 |
|
elfzuzb |
|- ( k e. ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` if ( I <_ M , I , M ) ) /\ if ( I <_ N , N , I ) e. ( ZZ>= ` k ) ) ) |
47 |
26 45 46
|
sylanbrc |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) |
48 |
47
|
ex |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) ) |
49 |
48
|
ssrdv |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( M ... N ) C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) |
50 |
49
|
adantl |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( M ... N ) C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) |
51 |
1 50
|
sstrd |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> S C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) |
52 |
4
|
adantl |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ ) |
53 |
28
|
adantl |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ ) |
54 |
2
|
adantl |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> I e. ZZ ) |
55 |
52 53 54
|
3jca |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ /\ if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) |
56 |
16
|
3adant2 |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ I e. RR ) ) |
57 |
56
|
adantl |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( M e. RR /\ I e. RR ) ) |
58 |
57
|
ancomd |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( I e. RR /\ M e. RR ) ) |
59 |
|
min1 |
|- ( ( I e. RR /\ M e. RR ) -> if ( I <_ M , I , M ) <_ I ) |
60 |
58 59
|
syl |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) <_ I ) |
61 |
38
|
adantl |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( N e. RR /\ I e. RR ) ) |
62 |
61
|
ancomd |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( I e. RR /\ N e. RR ) ) |
63 |
|
max1 |
|- ( ( I e. RR /\ N e. RR ) -> I <_ if ( I <_ N , N , I ) ) |
64 |
62 63
|
syl |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> I <_ if ( I <_ N , N , I ) ) |
65 |
60 64
|
jca |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( if ( I <_ M , I , M ) <_ I /\ I <_ if ( I <_ N , N , I ) ) ) |
66 |
|
elfz2 |
|- ( I e. ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) <-> ( ( if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ /\ if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( if ( I <_ M , I , M ) <_ I /\ I <_ if ( I <_ N , N , I ) ) ) ) |
67 |
55 65 66
|
sylanbrc |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> I e. ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) |
68 |
67
|
snssd |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> { I } C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) |
69 |
51 68
|
unssd |
|- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( S u. { I } ) C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) |