Theorem ssin

Description: Subclass of intersection. Theorem 2.8(vii) of Monk1 p. 26. (Contributed by NM, 15-Jun-2004) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011)

	Ref	Expression
Assertion	ssin	|- ( ( A C_ B /\ A C_ C ) <-> A C_ ( B i^i C ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin	|- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
2	1	imbi2i	|- ( ( x e. A -> x e. ( B i^i C ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. B /\ x e. C ) ) )
3	2	albii	|- ( A. x ( x e. A -> x e. ( B i^i C ) ) <-> A. x ( x e. A -> ( x e. B /\ x e. C ) ) )
4		jcab	|- ( ( x e. A -> ( x e. B /\ x e. C ) ) <-> ( ( x e. A -> x e. B ) /\ ( x e. A -> x e. C ) ) )
5	4	albii	|- ( A. x ( x e. A -> ( x e. B /\ x e. C ) ) <-> A. x ( ( x e. A -> x e. B ) /\ ( x e. A -> x e. C ) ) )
6		19.26	|- ( A. x ( ( x e. A -> x e. B ) /\ ( x e. A -> x e. C ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. A -> x e. C ) ) )
7	3 5 6	3bitrri	|- ( ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. A -> x e. C ) ) <-> A. x ( x e. A -> x e. ( B i^i C ) ) )
8		df-ss	|- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
9		df-ss	|- ( A C_ C <-> A. x ( x e. A -> x e. C ) )
10	8 9	anbi12i	|- ( ( A C_ B /\ A C_ C ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. A -> x e. C ) ) )
11		df-ss	|- ( A C_ ( B i^i C ) <-> A. x ( x e. A -> x e. ( B i^i C ) ) )
12	7 10 11	3bitr4i	|- ( ( A C_ B /\ A C_ C ) <-> A C_ ( B i^i C ) )