Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sspg.y |
|- Y = ( BaseSet ` W ) |
2 |
|
sspg.g |
|- G = ( +v ` U ) |
3 |
|
sspg.f |
|- F = ( +v ` W ) |
4 |
|
sspg.h |
|- H = ( SubSp ` U ) |
5 |
|
eqid |
|- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U ) |
6 |
5 2
|
nvgf |
|- ( U e. NrmCVec -> G : ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) --> ( BaseSet ` U ) ) |
7 |
6
|
ffund |
|- ( U e. NrmCVec -> Fun G ) |
8 |
|
funres |
|- ( Fun G -> Fun ( G |` ( Y X. Y ) ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( U e. NrmCVec -> Fun ( G |` ( Y X. Y ) ) ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> Fun ( G |` ( Y X. Y ) ) ) |
11 |
4
|
sspnv |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> W e. NrmCVec ) |
12 |
1 3
|
nvgf |
|- ( W e. NrmCVec -> F : ( Y X. Y ) --> Y ) |
13 |
11 12
|
syl |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> F : ( Y X. Y ) --> Y ) |
14 |
13
|
ffnd |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> F Fn ( Y X. Y ) ) |
15 |
|
fnresdm |
|- ( F Fn ( Y X. Y ) -> ( F |` ( Y X. Y ) ) = F ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( F |` ( Y X. Y ) ) = F ) |
17 |
|
eqid |
|- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U ) |
18 |
|
eqid |
|- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W ) |
19 |
|
eqid |
|- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U ) |
20 |
|
eqid |
|- ( normCV ` W ) = ( normCV ` W ) |
21 |
2 3 17 18 19 20 4
|
isssp |
|- ( U e. NrmCVec -> ( W e. H <-> ( W e. NrmCVec /\ ( F C_ G /\ ( .sOLD ` W ) C_ ( .sOLD ` U ) /\ ( normCV ` W ) C_ ( normCV ` U ) ) ) ) ) |
22 |
21
|
simplbda |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( F C_ G /\ ( .sOLD ` W ) C_ ( .sOLD ` U ) /\ ( normCV ` W ) C_ ( normCV ` U ) ) ) |
23 |
22
|
simp1d |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> F C_ G ) |
24 |
|
ssres |
|- ( F C_ G -> ( F |` ( Y X. Y ) ) C_ ( G |` ( Y X. Y ) ) ) |
25 |
23 24
|
syl |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( F |` ( Y X. Y ) ) C_ ( G |` ( Y X. Y ) ) ) |
26 |
16 25
|
eqsstrrd |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> F C_ ( G |` ( Y X. Y ) ) ) |
27 |
10 14 26
|
3jca |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( Fun ( G |` ( Y X. Y ) ) /\ F Fn ( Y X. Y ) /\ F C_ ( G |` ( Y X. Y ) ) ) ) |
28 |
|
oprssov |
|- ( ( ( Fun ( G |` ( Y X. Y ) ) /\ F Fn ( Y X. Y ) /\ F C_ ( G |` ( Y X. Y ) ) ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x F y ) ) |
29 |
27 28
|
sylan |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x F y ) ) |
30 |
29
|
eqcomd |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) |
31 |
30
|
ralrimivva |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) |
32 |
|
eqid |
|- ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) |
33 |
31 32
|
jctil |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) |
34 |
6
|
ffnd |
|- ( U e. NrmCVec -> G Fn ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
35 |
34
|
adantr |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> G Fn ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
36 |
5 1 4
|
sspba |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> Y C_ ( BaseSet ` U ) ) |
37 |
|
xpss12 |
|- ( ( Y C_ ( BaseSet ` U ) /\ Y C_ ( BaseSet ` U ) ) -> ( Y X. Y ) C_ ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
38 |
36 36 37
|
syl2anc |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( Y X. Y ) C_ ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
39 |
|
fnssres |
|- ( ( G Fn ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) /\ ( Y X. Y ) C_ ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) |
40 |
35 38 39
|
syl2anc |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) |
41 |
|
eqfnov |
|- ( ( F Fn ( Y X. Y ) /\ ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) -> ( F = ( G |` ( Y X. Y ) ) <-> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) ) |
42 |
14 40 41
|
syl2anc |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( F = ( G |` ( Y X. Y ) ) <-> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) ) |
43 |
33 42
|
mpbird |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> F = ( G |` ( Y X. Y ) ) ) |