Theorem ssralv

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006) Avoid axioms. (Revised by GG, 19-May-2025)

	Ref	Expression
Assertion	ssralv	|- ( A C_ B -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss	|- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
2		imim1	|- ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( ( x e. B -> ph ) -> ( x e. A -> ph ) ) )
3	2	al2imi	|- ( A. x ( x e. A -> x e. B ) -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> A. x ( x e. A -> ph ) ) )
4		df-ral	|- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
5		df-ral	|- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
6	3 4 5	3imtr4g	|- ( A. x ( x e. A -> x e. B ) -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )
7	1 6	sylbi	|- ( A C_ B -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )